Problème. Évaluer x*" + — en fonction dex

Posons: a; = cos cp -}- \/ — 1 sin <p ;

et, par suite: - = coscp — v^~sin©;

on en tire, d'une part :

^ + J = 2cos9; et, de l'autre :

x"" = cos wcp -|- v/^^ sin mcp,

■^ = cos m© — ^ — 1 sin mcp;

d'où Ton conclut :

x'^-j- — = 2cos mcp,

RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 321 Ainsi, la formule, qui donne cos mcp en fonclion de cos ©, pcr-

Of + ^

mettra de calculer — - — en fonction de a; 4--.

Remarque. Pour obtenir la formule demandée, nous avons supposé à X une valeur Imaginaire

x=zco?>^-\-sJ — Isincp;

ïe résultat est-il suffisamment établi pour une valeur réeile quelconque de x? Pour démontrer que la formule est générale, il faut remarquer que, si l'on chasse les dénominateurs, elle est de degré 2m; et l'on sait, par la théorie des équations, qu'elle doit alors être identique, si elle a lieu pour plus de 2m valeurs réelles ou imaginaires de la variable.

RÉSUMÉ

290. On rappelle que les expressions imaginaires se sont introduites dans un but de généralisation, dont l'importance devient plus grande encore dans la suite de l'algèbre. — 291. Une expression imaginaire, n'étant la mesure d'aucune grandeur, n'est pas un nombre • mais, à l'aide de conventions convenables, elle peut figurer utilement dans les calculs. — 292. Cn a l'habitude de donner aux expressions imaginaires la forme {a~\-h\J—\). — 295. Toute expression imaginaire est racine d'une équation du second degré ; l'autre racine se nomme expression conjuguée. — 294. Puissances successives de \J — 1. — 29o. Un produit de facteurs imaginaires ne change pas, quand on intervertit les facteurs. — 296. Application du théorème précédent à la démonstration d'une formule d'algèbre entre nombres réels. — 297. Expression trigonométrique des expressions imaginaires; définition du module et de l'argument. — 298. Produit de deux expressions itraginaires. — 299. Quotient de deux expressions imaginaires. — 500. Puissances entières d'une expression imaginaire. — 501,502. Extension du résultat obtenu au cas d'un exposant traclionnaire ou négatif. — 505, 504, 50o. Application des formules précédentes à quelques résultats où ne figurent plus que des quantités réelles.

Alg. sp. B 21

EXERCICES

I. Démontrer, sans avoir recours à des expressions trigonométriques, que

v/a + ^v/— 1 est la forme V + q yZ—ï •

On applique une méthode analogue à celle qui est exposée (I, 217).