RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

§ I, Formules générales pour la résolution des équations du troisième degré.

306. RÉDUCTION DE l'équation GÉNÉRALE. Soit Téquation du troisième degré :

[1] <f{x) = x' + ax'^-]-bx + c = 0.

Posons x = x' + h;

elle deviendra :

.(^ + h) = cp(/^) + o^V (h) + ^ i\h) + ^ f{h) ;

et, si nous posons : (p"(/i) = 0,

c'est-à-dire 6/i + 2a = 0, ou /i = — 3a,

réquation en x' ne contiendra pas de ternie en x'\ et sera de la forme

[2] x'^' + px' + q^zQ,

C'est sous cette dernière forme que nous étudierons l'équation du troisième degré, en supprimant l'accent de la lettre x.

507. RÉSOLUTION DE l'équation 0?^= 1. Nous commeucerons par traiter l'équation plus simple

L'une de ses racines est, évidemment, x=l. Pour avoir les deux autreSj écrivons la proposée sous la forme

et divisons le premier membre par {x—l); nous obtiendrons:

dont les racines sont : x = .

L'unité a donc une racine cubique réelle, égale à 1, et deux racines cubiques imaginaires; dans ce qui va suivre, nous représenterons l'une de ces dernières par la lettre a; l'autre sera a^, comme on peut facilement le véritier :

Il est clair, d'ailleurs, que, si l'on a :

on a aussi: a«=l, ou {<xy=^l;

donc a^ doit être racine de l'équation [1], toutes les fois que a y satisfait lui-même.