RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME
DEGRÉ. Reprenons actuellement Téqualion,
[1] œ'+px+q = 0, .
à laquelle peut se ramener (oOG) toute équation du troisième degré ; posons, pour la résoudre :
x=.y + z; elle deviendra :
y^+3y'z + 'âyz' + z'+p{y + z)-\-q=.0\
ce que l'on peut écrire :
y' + z' + {y + z){3yz + p) + q = 0.
yetz étant assujettis à la seule condition d'avoir pour somme la racine cherchée x, nous pouvons établir entre elles une relation arbitraire, et poser
[2] ?„jz+p = 0\
réquation devient alors :
Or, on résoudra les équations [2] et [3], en remarquant qu'elles font connaître la somme et le produit des quantités y^ et z^; on a, en effet :
1/' et s' sont donc les racines de Téqualion,
et, par conséquent, ces deux quantités sont respectivement :
On en déduit :
309. Nombre des racines fournies par la formule. La formule précédente exige quelques explications. Un nombre quelconque A a trois racines cubiques, puisque l'équation x^ = A admet nécessairement trois racines. Pour obtenir ces trois racines, il suffit d'en connaître une seule, et de la multiplier successivement par a et par a^; ce qui, évidemment, ne change pas son cube (507).
D'après cela, la formule [4] qui donne la valeur de Xj semble fournir neuf solutions; car chaque radical a trois valeurs, et rien n'indique la dépendance à établir entre elles. On doit remarquer pourtant, que cette dépendance existe; nous avons, en etïet :
le produit des deux radicaux doit donc être réel et égal à P
Soient, d'après cela, A et B deux valeurs des racines cubiques remplissant cette condition; de telle sorte que l'une des racines de l'équation proposée soit :
les valeurs de y et de ^ sont, outre A et B :
aA, a^A,
aB, a^B;
et il est clair que, le produit AB étant réel, les seules combinaisons qui puissent également donner un produit réel, sont :
X^ = <xk + OL%
a?3 = aB + a^ A ;
et le nombre des solutions se réduit à trois, comme cela devait être.
§ II. Conditions de réalité des racines de l'équation x^'}-px-{-q-}-0.
510. Examen des cas qui peuvent se présenter. On peut remarquer d'abord que les équations
(x^-\-px-\-q = 0, {x^-\-px—-q = Of
ont leurs racines égales et de signes contraires ; car, si l'hypolhèse x = a vérifie l'une, l'hypothèse x = — (x satisfera à l'autre.
D'après cela, nous nous bornerons à chercher dans quel cas l'équation
peut admettre trois racines réelles, q désignant un nombre positif.
La règle de Descartes nous apprend tout d'abord, qu'il faut nécessairement que p soit négatif. * S'il 'en était autrement.
réquation [1] n'aurait, en effet, aucune variation; et la transformée en —X
— a;* — px-\-q = 0
n'en aurait qu'une seule. L'équation aurait, par suite, une seule racine négative, et n'aurait pas de racines positives.
311. Conditions de réalité. Examinons donc le seul cas où p est négatif. L'équation a alors, d'après la règle de Descartes, une seule racine négative ; elle peut avoir deux racines positives, ou n'en pas avoir du tout. Ce sont ces deux cas que nous voulons distinguer.
L'équation proposée peut s'écrire :
q = — cc^ — px = x{ — p — x^),
p étant un nombre positif.
Si X varie de 0 à y/— P, le produit x{—p — x^) est d'abord nul; il augmente jusqu'à un certain maximum; puis il diminue, et redevient nul pour x = \/—p. Si donc le maximum surpasse g, il y aura deux valeurs de Xy pour lesquelles ce produit sera égal à g; et l'équation aura deux racines positives, moindres que y/— p. Si le maximum du second membre est moindre que (/, l'égalité est impossible pour les valeurs de x comprises entre G et y/— p, et, par suite, pour toutes les valeurs positives de x; car le second membre deviendrait négatif, si x^ était plus grand que —p. S'il arrive enfin, que le maximum du second membre soit précisément égal à g, l'égalité ne pourra avoir lieu que pour une seule valeur de x; et les deux racines deviendront égales.
La condition de réalité des trois racines s'obtiendra donc en cherchant le maximum de
et en écrivant qu'il est moindre que q. Or, ce maximum correspond à la valeur de x qui rend la dérivée égale à zéro, et qui satisfait, par suite, à l'équation :
Pour cette valeur, l/ — ~, le produit x{ — p — x^), devient
la condition de réalité des trois racines est donc
ou
Il faut en outre, comme on Ta vu, que p soit négatif; mais cette condition est évidemment nécessaire à l'exactitude de l'inégalité précédente; et il est inutile de la mentionner à part.
512. RÉSUMÉ. D'après ce qui précède, et en nous servant des principes généraux de la théorie des équations, nous pouvons établir les propositions suivantes, relatives à l'équation
[1] x^-\-px-\-q=^Q.
1° La somme des trois racines est égale à zéro. Si Tune d'entre
elles est imaginaire et de la forme (a + P v/~0> i^ Y '^^^ra nécessairement encore une autre racine imaginaire de la forme
(a — Pv^ — l) ; et il n'y en aura qu'une seule.
T Le terme tout connu est égal au produit des trois racines pris en signe contraire. Si deux équations de la forme [1] ne diffèrent entre elles que par le signe du terme connu, leurs racines seront respectivement égales, mais de signes contraires.
Ainsi, par exemple, les racines de l'équation,
étant 2, 5 et — 7, celles de l'équation
a;^— 39rc — 70 = 0
seront — 2, — 5 et + 7.
3« Lorsque p est positif, l'équation admet deux racines imaginaires.
RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 329 4° Lorsque le p est positif, réquation admet deux racines imaginaires.
5° Lorsque p est négatif, l'équation a trois racines réelles et inégales, si (fâ +t) ^^* négatif; elle a trois racines réelles, dont
deux égales, si (^+t) ^^^ ^^^^' ^^^" ^^^^ ^ ^^"^ racines imor ginaires, si (fy +^) est positif.
Ainsi, par exemple, les équations suivantes ont :
ar»+100a;±16=0j
,' , ,^ ^>2 racmes imagmaires;
or ±16 = 01
ar»— 7a;=tl6 = o)
/p8— 1 2a; ± 1 6 = 0 2 racines réelles égales ;
^ ^— 2^^^^^""^]3 racines réelles inégales. a;3-iooa;±16=OJ °
^ IIL Résolution trigonométrique des équations du troisième degré.
515. Cas des racines réelles. Nous allons maintenant montrer comment, à l'aide des fonctions trigonométriques, on peut déterminer directement toutes les racines, réelles ou imaginaires, d'une équation du troisième degré.
1" Cas. Racines réelles. Condition :
Lorsque l'équation [1] a ses trois racines réelles et inégales, la quantité sous le radical du second degré (508) est négative; et la valeur [4] de x est la somme de deux quantités imaginaires. Pour la débarrasser de ces symboles imaginaires, posons :
— |=pcos<p, et | + |7=-p'sin>;
la formule [4] deviendra :
et, d*après la formule de Moivre (502), on aura :
+ v/p. (^cos^^^-î- — —sml^Il — . y/- 1 j .
formule où l'on doit donner à k les valeurs 0, 1,2. Il faut d*ailleurs que k ait la même valeur dans ces deux termes, pour que le produit yz soit réel.
On aura donc : x = 2 y/p. cos ^ "^, ce qui donne, pour les trois valeurs de k :
a; = 2 ^p . cos 1 , 2 v'p . cos ^1 + 12oA , 2 V P • COS (^ + 240«^ , OU
x = 2 v/^cos|, -—2 (/p. cos ^60"— ly 2^'p cos ^1200— ly
Pour déterminer les valeurs de p et de cp (p étant essentiellement positif), on a:
p^cos^9 = |.\ p«sin>=^- + |J,
donc: P'=-|î' ou P=y/-f7,
et coscp= — -7-.
Remarque. Si la valeur, que la formule précédente assigne à cos 9, est négative, on cherchera dans les tahles l'orctp', qui a pour cosinus le même nombre pris positivement; et 9 sera le supplément de 9'.
514. Exemple I. Partager un hémisphère en deux parties égales par un plan parallèle à la base.
Soient : x la distance du plan sécant au centre de la sphère;
y le rayon de. la section circulaire ;
r = l le rayon de la sphère.
On aura l'équation :
Or y^ = r^'-x^;
donc 2{l—x)—x{l—x^) = \;
ou o;^ — 3a?-f 1 = 0;
équation qui donnera la valeur de x.
Nous avons ici : p= — 3, ç=l;
donc: p=y/-=zi, etcos?=-^p=--; donc y =120», et | = 40".
Les trois racines de l'équation proposée sont donc :
( x^= 2COS40*'= 1,5320888, 1 ir2:=— 2 00820°=-. 1,8793852, j x^= 2cos80''= 0,3472964.
On vérifie que a?! + iCa + a^s = 0.
Parmi ces trois racines, il n'y a que la dernière qui réponde au problème proposé; car seule elle est positive et inférieure au rayon de la sphère. ^
51o. Exemple IL Déterminer les abscisses des points d'intersection de la parabole x^= 4y, et de Vhyperbole 4xy = 7(x — 1). Par éhmination de ^, on obtient l'équation :
dont les racines déterminent les abscisses des points d'intersection. On a :
log (— p3) = 2,53529412 log q =: 0,84509804
log27 = 1,43136376 GMog 2 — 10 =1,69897000
log p«= 1,10393036 CMog p— 10 = 1,44803482
logp = 0,55196518 log COS ({•'=: 1,99210286
,«.«=.,.,,,.3» \tz,'Z%ZZ
^ = 56*>22'7",935, (sO" — |) =3» 37' 52", 065, ^120»— ^WeS» 37' 52", 065
ÎOgCOS =1,7433874 logCOS = T,9991272 logCOS=T,6475281
log 2 =0,3010300 =0,3010300 =0,3010300
log v^p = 0,1839884 =0,1839884 =0,1839884
logiC4= 0,2284058 log(-a;j) = 0,4841456 log iTs =0,1325465 Xi, = 1,692021 , X2 = — 3,048917, rr3= 1,356893
Vérification,
Xi= 1,692021 log 371 = 0,2284058
372 = — 3,048917 log 3^2 = 0,4841456
X^= 1,356896 lop^ 0:3 = 0,1325465
Xi-\-X2 + Xz= 0. log iCia'2rr3 = 0,8450979
