BD — 2AE)^= (B-^ — 4AC) (D« — 4AF

ou, en supprimant les termes B-D' qui figurent dans les deux membres, et en divisant ensuite par le facteur commun 4A,

[3] — BDE + AE2 = 4:VCF-FB«— CD«;

telle est la condition demandée. Si elle est remplie, la valeur de y prend la forme :

522. MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION. Proposoiis-nous actuellement de résoudre le système de deux équations numériques du second degré :

[5] Ay^-{-Bxy + Cx^+Dy+Y.x+¥=0,

[6] xy+h'xy+G'x'+J)'y + E'x + V = 0.

Si nous ajoutons ces deux équations, après avoir multiplié la première par X, le résultat pourra remplacer l'une d'elles. On obtient ainsi :

[7] (AX+A>H(B> + B>7 + (GX+CK+(DX+D')y

+ (EX+E> + (FX+F) = 0;

X étant arbitraire, nous pouvons la déterminer par la condition que les valeurs de y, déduites de l'équation [7], soient du premier degré en x.

Il suffira (521) de poser :

[8] (BX+B')(DX+D')(EX+E') + (AX + A')(EX + E7 =4(AX+A')(GX+G')(FX + F)— (FX+F'X'BX + B')* -.(CX+C')(DX+D7,

équation du troisième degré en X, qui aura, par conséquent, une racine réelle au moins. On calculera cette racine par approximation ; et, en faisant usage de la formule [4] (521), on obtiendra alors, pour y, deux valeurs de la forme :

y = Mx-\-'^, i/ = Mifl?+Ni

M, N, Ml, Ni, étant connus en fonction de la racine X, en substituant successivement ces valeurs de 1/ dans l'une des équations [5] et [6], on obtiendra deux équations du second degré en x; il y aura, par conséquent, en tout, quatre valeurs pour x et autant pour y.

525. Discussion. Il y a plusieurs cas à considérer dans l'application de la méthode précédente; nous les discuterons avec quelques détails. Pour plus de simplicité, nous remarquerons tout d'abord, que le problème revient à déterminer l'intersection

de deux courbes du second degré. La méthode indiquée équivaut à la détermination préalable des droites qui réunissent deux des points d'intersection.

1° Si réquation du troisième degré en X admet trois racines réelles, et si, en même temps, deux au moins de ces racines rendent positives la quantité

(BX+By— 4(AX + A')(GX + C')=:/c,

ces deux racines déterminent deux couples de sécantes réelles, qui se coupent en général en quatre points. Ces quatre points sont les points d'intersection des deux courbes, et leurs coordonnées donnent les solutions des équations proposées.

2° Si l'équation du troisième degré a trois racines réelles, dont une seule rend positive la quantité k; ou, si l'équation n'a qu'une seule racine réelle, mais qui satisfasse à cette condition, les deux courbes n'admettent qu'un seul couple de sécantes communes.

Il faudra alors chercher, si ces sécantes rencontrent l'une quelconque des courbes proposées ou non : dans le premier cas, les deux équations auront deux solutions réelles et deux solutions imaginaires ; dans le second cas, elles auront quatre solutions imaginaires.

3° Si enfin les racines réelles de l'équation en 1 rendent négative la quantité k^ les deux équations ont' quatre solutions imaginaires.