Exemple I. Soient données les deux équations

3y^-{-kxy-{-3x^ — 9y — 15a; = 0 (ellipse) ^ y^ — 2xy-\- x'^-\-2y—l0x = 0 {parabole).

Ces deux équations, combinées ensemble, donnent Téquation (3-L\)y^+{k-2l)xy+{3-^l)x'—{9-2l)y-{lb+\0k)x=0; et l'on obtient pour l'équation [8] ;

Celle équation a trois racines réelles et négatives, qui sont :

La quantité k——20{l + 2X)

étant positive ou nulle pour chacune des trois valeurs de A, les courbes données admettent trois systcmesde sécantes communes réelles, dont les points d'intersection se confondent avec ceux des deux courbes.

Il ne s'agit plus que de déterminer deux systèmes de sécantes et de chercher leurs points de rencontre.

Pour • >^ = — 2,

les deux équations du premier degré sont : '

y = — x-\~2di2, système de deux droites parallèles.

Pour ^== — %^,

nous aurons: i/=— -~2=ti( — (-2).

Les points d'intersection des quatre sécantes sont :

a;=rO, |/=rO,

Ces quatre points sont les sommets d'un liapèze dont les côlés sont formés par les qualre sécantes. Les deux autres sécantes, correspondant à X:=: — |, seraient les diagonales du (rapèze.

523. Exemple IL Délerminer les points (Tinlerscclion des courbes

xy — 3x-{- 6 =zO (fnjperbole),'^

fl;2— 9y = 0 (parabole).

RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 3(i3

Si, dans la première de ces deux équations, on substitue à y sa valeur tirée de la seconde équation,

on obtient immédiatement l'équation du troisième degré :

dont les racines déterminent les points d'intersection des deux courbes. Cette équation a trois racines réelles, deux positives égales, ic = 3, et une négative, 5? = — 6. A ces deux abscisses correspondent les ordonnées

y=\ et i/=4;

donc les deux courbes se touchent au point (3,1), et se coupent au point (—6,4).

520. Exemple III. Soient données les deux équations y'^-\-x^ — 2a? = 0 {cercle) f 2xy — 1 = 0 (hyperbole); l'équation résultant de la combinaison sera :

y^-\-2lxy-{-x^ — 2x — X=:0

et en écrivant que cette équation représente deux droites, on

trouvera :

Cette dernière équation a une racine réelle et deux racines imaginaires.

Pour évaluer la racine réelle, nous nous servirons des formules données (516) ; nous aurons alors :

log sin w=î,585 3481, logtang^=T,301 3783, logtang© = 7,767 1261, Iogsin29 = î,940 3459, log X = 0,122 1235, X=l, 324718;

la quantité k^=k{X^ — 1 ) on r-, étant positive pour ]a valeur de X

que nous venons de trouver, les deux équations du premier degré,

auront leurs coefficients réels; et, par conséquent, les deux courbes admettent un système de deux sécantes réelles communes.

En substituant ces deux valeurs de y dans Téquation :

2xy — 1 = 0,

on arrive à l'équation du second degré :

Pour que les valeurs de x soient réelles, il faut que l'on ait :

Si nous prenons le signe inférieur, le premier membre devient négatif, et la condition de réalité n'est pas remplie; par conséquent, la droite

- y=:—lx -={X + 1)

ne rencontre pas la courbe.

Si, au contraire, nous prenons le signe supérieur, le premier membre devient positif, et la sécante

V^ rencontre la courbe en deux points.

En substituant à X et v/X leurs valeurs numériques, la dernière équation deviendra :

équation qui, combinée avec celle de la courbe,

2xy — l = 0j

donne les deux solutions réelles des équations proposées,

et a;=0, 557424, y = 0,S9619\,