Exemple V. Soient données les deux hyperboles

ky'^ — kxy~{~9 = 0,

Sxy~k'2y -{-9 = 0;

déterminer leurs points d'intersection

La valeur de y, tirée de la seconde équation et substituée dans la première, conduit à l'équation du second degré en x,

kx^~-3bx-\-'7b = 0,

équation qui a deux racines réelles rr = 5 et 3?=: 3 1.

Les valeurs correspondantes de y sont ?/ = | et 2/ — f .

Mais les deux courbes proposées sont deshy[)erbolcs, rapportées à une asymptote commune prise pour axe des abscisses; donc, en outre des deux points d'intersection que nous venons de trouver, elles ont encore deux autres points de rencontre éloignés à l'infini de l'origine.

En effet, lorsqu'on remplace x par -, et qu'on égale les va-

leurs de y tii ées de la première et de la seconde des équations proposées, on obtient l'équation du quatrième degré,

Les quatre racines de cette équation sont :

z- = 0, donc 2 = 0,

et z =

et comme x-

= -, nous aurons les quatre

solufioi

proposées :

x = Zl,

529. Cas particuliers. La résolution de deux équations du second degré, à deux inconnues, se réduit, dans certains cas particuliers, à la résolution d'une équation bicarrée ou d'une équation du second degré.

1° Lorsque les deux courbes^ont concentriques^ et rapportées à leur centre commun pris pour origine, leurs équations ne contiennent plus de termes du premier degré par rapport aux variables; et l'élimination d'une variable donnera une équation bicarrée par rapport à l'autre variable.

Exemple. \Ç>if—\ Qxij + 5a;'— 400 = 0 (ellipse),

y^—x^-^lÇ> = 0 (hyperbole) ,

Les solutions sont égales deux à deux, mais de signes contraires.

2° Lorsque les deux courbes sont homofocalesy et rapportées à

leur foyer commun, pris pour origine des coordonnées, les deux équations se metlenl sous la forme

donc ay-{-bx+c = dz{a'y-{-b'x-\-c'),

ou . (a±a')y + {b±:b')x + (cdzc') = 0;

et Ton aura deux équations du premier degré, que l'on combinera avec l'une des équations proposées.

Exemple. Sy^ — kxy -\- ky — 2x -}- l = 0 (hyperbole),

y^ —2xy + x'^—2y—3x—^ = 0 (parabole).

3° Lorsque les deux courbes ont un diamètre commun, et qu'elles sont rapportées à un système de coordonnées obliques, ayant pour axe des abscisses le diamètre commun, et pour axe des ordonnées une parallèle aux cordes, les deux équations ne contiennent la variable 2/ qu'à la seconde puissance, et l'élimination de celte variable réduira le problème à la résolution d'une équation du second degré en x.

Exemple. Sî/^ — 3a? — 'èÇ>=:0 (parabole),

1/ + 5a;' — 80 = 0 (ellipse),

4" Si les deux courbes sont semblables et semblablemcnt situées, les termes du second degré dans les deux équations ont les coefficients proportionnels.

Donc, si l'on multiplie l'une des deux équations par un facteur convenable, et qu'on la retranche de l'autre équation, on obtiendra pour reste une équation du premier degré.

Exemple, y* + '^^V — 3^^ -x-6x-\-k0 = 0 (hyperbole) ,

2y^ + 2xy —Qx^ — by + 37 = 0 (hyperbole).

5*» Lorsque les deux courbes sont des hyperboles ayant une même asymptote , et rapportées à cetle asymptote commune comme axe de a;, les deux équations ne contiennent la variable or

que dans le terme xy; et rélimination de x donne une équation du second degré en y.

Exemple. y^ — ^xy-\- 6y — 10 = 0,

dy^ -{- 2xy — lOy -{- 8 = 0.

g II. Résolution des équations du quatrième degré.

550. MÉTHODE DE RÉSOLUTION. La méthode, que nous venons d'exposer, sert à réduire la résolution de l'équation du (|uatrième degré,

a;* -|- ax^ -\-bx^-{-cx-\' d = Oy

à la résolution d'une équation du troisième degré.

En effet, si dans l'équation proposée on remplace x^ par y, on arrive à l'équation :

y''-{-axy-\-by-{-cx-\-d = 0;

et la résolution de l'équation du quatrième degré est ramenée à la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues, que nous pouvons résoudre au moyen d'une équation du troisième degré en >.