II. - Fonction ayant pour dérivée une fonction donnée

Applications géométriques relatives aux

aires et aux arcs de courbes.

5. Nous pouvons maintenant répondre d'une manière précise à la question que nous avons posée au début de ce Chapitre. Soit f (a;) une fonction continue dans un intervalle (a, 6); x étant compris dans cet intervalle, l'intégrale

est une grandeur bien déterminée qui dépend de la limite supérieure X ; cette intégrale est donc une fonction de^, F (a:); nous

lO INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

allons démontrer qu'elle a /(x) pour dérivée. On a en effet

; étant compris entre a? et a; -h A. De là résulte d'abord que la fonction F (^)est continue; nous avons ensuite

et, en faisant tendre h vers zéro, on voit que le premier membre a une limite qui est/(x). Nous avons donc

et Cexistence dune fonction continue F (^), ayant pour dérivée une fonction continue f {x)^ est démontrée.

6. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que si deux fonctions continues P {x) et Q {x) dans un intervalle possèdent chacune en chaque point de cet intervalle une dérivée, et si

l'on a

on doit en conclure dans l'intervalle envisagé

P(ar) = Q(ar)-G,

C étant une constante. La démonstration de ce théorème, telle que Ta présentée M. Bonnet, est aujourd'hui classique dans tous les Cours de Mathématiques spéciales; on se rappelle qu'elle exige seulement que la dérivée existe et soit finie, mais nullement qu'elle soit continue.

Ceci posé, si par un procédé quelconque on a trouvé une certaine fonction continue F {x) qui admet pour dérivée /(j:), cette fonction ne différera que par une constante C de l'intégrale définie / /(j^) rf)^, puisque cette intégrale a même dérivée que F (x). On aura donc

F(^)= f f(r)dy^C.

INTÉGRALES D^riNlES. Il

En particulier, si x = a, on trouve F (a) = C; par suite

(4) F(^)-F(a)= r f{y)dy;

et si l'on fait a: =r:= 6,

F(é)-F(a)= f fiy)dy,

formule qui est fondamentale pour le calcul des intégrales définies.

7. Une remarque importante concerne le cas où la fonction F(:r) aurait plusieurs déterminations, ce qui arrive pour les fonctions circulaires arc sina:, arc tang^. Pour éviter toute difficulté, on doit partir de la formule (4); on prend pour F (a) une de ses déterminations; pour x voisin de a, il ^r aura, dans les cas qui se rencontrent le plus fréquemment, une seule détermination de F(ic) voisine de celle que l'on a choisie pour F (a). On trouvera ainsi, de proche en proche et sans ambiguïté, la valeur qu'il faut adopter pour F(a:), quand F(^) variera de a à 6. Soit, par exemple,

on peut prendre

F(ar) = arc tang^:.

Parmi les déterminations diverses de arc langa;, choisissons celle qui s'annule pour j; == o; on aura alors

dx ,

= arc tango,

arc tang6 étant la détermination de arc tangâ? obtenue en suivant d'une manière continue, de ar = o à ar = 6, la détermination de arc tangx qui s'annule pour a? == o ; par suite, dans la formule précédente, arc tang& représentera l'arc compris entre et -h 7»

ajrani h pour tangente.

J f{x)dx {a<b)

est susceptible d'une înterpré talion géométrique. Considérons la courbe j^=/(^) et supposons d'abord f{x) positif quand x varie entre a et b. Chacun des termes de la somme

représente un rectangle de hauteur f{xi) et de base (:tv+i — X| ) ; si l'on convient d'appeler aire limitée par la courbe, l'axe des x et les deux droites ;r = a, ^ = 6, la limite de la somme de ces rectangles, nous pourrons dire que l'intégrale définie représente une aire. Si/(x) n'était pas toujours positif de a à 6, on voit de suite que l'intégrale précédente représente, en supposant toujours a <Ci, l'aire comprise entre les ordonnées x = a et x=^b^ en ayant soin de considérer comme négatives les portions de cette aire situées audessous de l'axe O^. Si a > 6, ce sont au contraire les portions d'aire au-dessus de Ox que l'on devra considérer comme négatives, et les autres comme positives.

Une autre remarque plus importante est relative au cas où la fonction f{x) passerait brusquement d'une valeur à une autre, comme l'indique la figure. Pour ^ = c, f{x) passe brusquement de cCk cD. L'intégrale définie n'en a pas moins un sens précis :

Fig. I.

elle représente la somme des deux aires, entendues comme il vien t d'être dit, ACac et DBc6. Nous sommes donc ainsi conduit à élargir notre notion de l'intégrale définie, en voyant que /(a:), en général continue, peut avoir entre a et b un nombre limité de discontinuités de la nature indiquée sans que l'intégrale cesse d'avoir un sens précis.

SI l'on considère maintenant l'intégrale

INTÉGRALES DÉFINIES. l3

ce sera une fonction continue de x et elle aura pour dérivée /(a;), nous l'avons dit, pour les valeurs de x qui rendent /(:r) continue. Pour une valeur telle que a; == c, au contraire, cette fonction n'aura pas de dérivée, le rapport

tendant vers la limite Ce ou la limite De, suivant que h tend vers zéro par valeurs négatives ou positives.

Comme seconde application géométrique de la notion d'intégrale définie, définissons la longueur d^un arc de courbe. Soit une courbe gauche représentée par les trois équations

et admettons que, t variant de a à 6 (a < 6), le point (^, y^ z) décrive un arc de cette courbe AB, en allant toujours dans le même sens. Les fonctionsy*, ©, et ^ et leurs dérivées/', cp' et ^' sont supposées continues de a à 6.

Ceci posé, prenons sur l'arc AB les points A| , A2, . . . , A„i, correspondant aux valeurs ^i, ^2, . . . , t,i-\ du paramètre t^ et considérons le contour polygonal AAïAa. . . A„|B. Nous allons voir que ce contour polygonal tend vers une limite, quand tous les côtés tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment : ce sera la longueur de l'arc. En effet, le côté A|A/^.i a pour expression

et Ton a

/(tM)-AtO = (tM - ti) [/\ti) -r- £/],

avec des égalités analogues pour cp et <j^. Or, si tous les intervalles ii^t — Ci sont suffisamment petits, toutes les quantités e, auront une valeur absolue moindre que telle quantité donnée à l'avance (d'après le lemme du § 2) : nous pouvons donc écrire

c( = {tM - ti) [//'*(^/)-Ho'H^;H-fH^-) H- Pi] ,

et tous les p/ sont inférieurs en valeur absolue à une quantité donnée à l'avance e, si tous les intervalles sont suffisamment petits.

Nous aurons alors

la première somme a pour limite

la seconde tend vers zéro, puisque sa valeur absolue est moindre que e(6 — a).

Nous avons en résumé

Si à la place de b on met t comme limite supérieure, s deviendra une fonction de /, et l'on aura pour exprimer la différentielle ds \di formule fondamentale

ds* = dx* 4- (fy* -h dz*.

Prenons comme exemple une cjcloïde, c'est-à-dire la courbe plane obtenue de la manière suivante : Une circonférence de rayon R roule sur une droite fixe, tout point de cette circonférence décrit une cycloïde.

Faisons partir le point décrivant de l'origine des coordonnées sur la droite fixe, prise pour axe des x. En appelant 0 l'angle dont on aura tourné le rayon allant au point fixe qui décrit la courbe, on aura pour coordonnées de ce point

La formule nous donne

et par suite

X— R(e — sinB), 7= R(i— cosO).

ds* = dx* -,' djr*

ds = iR sin - d^, a

si l'on veut que, 8 étant compris entre o et air, 5 et 0 croissent en-

INTÉGRALES DÉFÎMES. l5

semble. En comptant les arcs à partir de Torigine, on aura donc

s =- 4R ( I — cos - J.

III. — Des fonctions intégrables et des fonctions non intégrables

d'après Riemann.

9. Dans la première section de ce Chapitre, où nous avons établi l'existence de l'intégrale définie, nous avons supposé qu'il s'agissait d'une fonction continue f{x), La notion d'intégrale définie a été posée par Riemann dans toute sa généralité. Au commencement de son Mémoire sur les séries trigonométriques (*), le grand géomètre fait une revision des principes généraux du Calcul infinitésimal. Considérant des fonctions f{x) ayant pour chaque valeur de x entre a et 6 une valeur finie parfaitement déterminée, il divise ces fonctions en fonctions intégrables el fonctions non intégrables. Envisageons la somme déjà formée au § 3

( -^(a^f--a7i)/(a7,-+-eiOî)-h...-4-(6--a7„i)/(a7„i-T-e«8«).

La valeur de cette somme dépend manifestement du choix des intervalles 8 et des fractions 0 qui sont comprises entre zéro et un. Si cette somme a une limite déterminée S toujours la même quand tous les S tendent vers zéro, de quelque manière que soient choisis les 8, Riemann dit que la fonction f{x) est intégrable, et il pose

S= / f{x)dx.

D'après ce qui a été démontré au § 3, les fonctions continues sont intégrables. Riemann a donné, sous une forme très générale, la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit intégrable ; nous l'indiquerons tout à l'heure.

Dans son beau Mémoire (*) Sur les fonctions discontinues.

( ' ) Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique {CEuvres de Riemann, traduction Laugel, p. 2'i5).

(-) G- Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues {Annales de l* École Normale, 1876).

l6 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

M. Darboux a repris, en les développanl considérablement et leur donnant une plus grande précision, les idées de Riemann. Nous allons suivre M. Darboux dans l'exposition de cette théorie.

10. Soity*(;r) une fonction bien déterminée pour chaque valeur de X dans un intervalle (a, i) et restant comprise entre A et B. Faisons d'abord la remarque suivante :

Il y aura un nombre M tel que la fonction ne puisse prendre dans l'intervalle (a, 6) une valeur supérieure à M, mais que Tune au moins de ses valeurs soit supérieure à M — e, s étant une quantité d'une petitesse arbitraire, puis pareillement un nombre m tel que la fonction ne puisse prendre une valeur inférieure à /n, et que l'une au moins de ses valeurs soit inférieure à w f- e. En effet partageons le segment (A., B) en n parties et supprimons aux deux extrémités les parties (s'il y en a) auxquelles ne correspondent pas des valeurs de la fonction. Subdivisons maintenant encore le segment conservé, et n'en conservons que la portion à laquelle correspondent des valeurs de la fonction, et ainsi de suite. On obtient une série de segments tous compris les uns dans les autres et tendant vers un segment limite (/?i, M) qui possède les propriétés énoncées.

M sera dite la limite maximum ou plus simplement le maximum, m la limite minum ou plus simplement \e minimum de la fonction dans l'intervalle considéré et M — m ^^ A est dit VosciU lation de la fonction dans l'intervalle.

Théorème fondamental. — On partage riniervalle (a, b) en un certain nombre d'intervalles, et dans chacun de ces intervalles 8i, 02, ..., ôrt on prend le maximum M|, Mo, ..., M« et le minimum /«i, m^^ .., rrin.

Formons alors les deux sommes

M = M,o,-hMj8j-f-...-HM„o„,

Nous allons établir que ces deux sommes tendent chacune vers une limite quand le nombre des intervalles grandit indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro (quelle que soit d'ailleurs la loi suivant laquelle les intervalles tendent vers zéro).

i" Soit d'abord une première loi de subdivision dans laquelle

on passera d'un système à un autre par des subdivisions des intervalles précédents. Je dis qu'avec cette loi, les M correspondants tendent vers une limite; en effet, ils vont en décroissant constamment, puisque quand on fractionne un intervalle, le maximum dans chacun des nouveaux intervalles est au plus égal au maximum dans rintervalle primitif. D'autre part, toutes ces sommes sont supérieures à A (6 — a); donc il y a une limite. Même raisonnement pour les m,

2° Il faut montrer maintenant que les limites sont les mêmes pour deux systèmes de subdivision faits l'un et l'autre d'après la loi précédente.

Prenons dans le premier mode une subdivision 8, et dans le second une subdivision ù' telle que tous les intervalles S' soient moindres que le plus petit des intervalles S divisé par un entier h. Soit le premier mode de subdivision :

a, xx, x%, xz, ..., b, le second sera :

«, yu yt. "■'. 7(1» ^u y\f.+u rv» ^î» j"v+i, ••' ^

Soient

Ml le maximum dans Tintervalle (a, 27i),

M, » » (ar,,ip,)'

soient

On aura

M', le maximum pour l'intervalle (o, J^i),

-»- (^-li-t-i — ^1 ) Mjii+i -H . . . -t- (a?! — jv) Mi.,.,

formons M' — M; les différences

Ml — Ml, Mi— Mj, ..., M[i— Ml sont négatives ou nulles; P. - I. 3

l8 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

pareillemenl

MJj^^j — Mj, . . ., M'y— Mî sont négatives ou nulles,

donc

-^■(^s — rv) (Mv+i — M,)-h(j^v-+-i— ^î)(Mi+i — M,)

et cette égalité n'est pas relative à la valeur absolue de M' — M. Par suite

ceci posé, supposons que M' ait une limite jjl' et M une limite ix avec [/.'>► [ji, on a Tordre suivant