Étant donnée la forme quadratique

ds^ =Edu^-^iF du dv -t- Gdv*,

où E, F, G sont des fonctions de u et ç^ proposons-nous de reconnaître si elle correspond à une surface développable, c'està-dire si elle peut être ramenée à la forme

En décomposant ds^ en un produit de deux facteurs, qui seront d'ailleurs nécessairement imaginaires conjugués, on peut

454 APPLICATIONS GÉOMÉTItlQUES DU CALCUL INFINITÉSIHAL.

écrire

ds^ ={adu^b dv) {a' du -4- b' dv) = (d\ h- i /A') (rfX ~ idY). Il devra donc exister un facteur |jl, fonction de u et f^, tel que

ixiadu-^bdv) et — ia' du -\- b' dv)

soient des différentielles totales exactes. Posons p. :^ ef; es équations

à(ixa) __ d(it.b) àv "~ du

deviennent

dv du

df . df db âa dp du ou ds>

a'^I-b'^^ =—-—* dv du dv du

Elles donnent les expressions de

^ et ^ du dv

en fonctions connues de u et i^ : soil -/-::= P ,-/ ^r^ Q . Nous n'au-

du ^ dç ^

rons plus qu a veriher si ^ = — -•