Un cas très remarquable est celui oii
Alors les distances sont aussi conservées sur les deux surfaces.
On dit qu'elles sont applicables l'une sur l'autre. Par suite, deux surfaces applicables l'une sur l'autre sont deux surfaces entre les points desquelles on peut établir une correspondance telle que deux arcs correspondants quelconques aient même longueur.
Prenons quelques cas particuliers. Supposons que ds^ ait la forme
(t) ds^=Edu'-'^Gdv*-,
E et G ne dépendant que de u. Nous allons montrer que, dans ce cas, la surface est applicable sur une surface de révolution convenablement choisie. En prenant pour axe des z Taxe d'une surface de révolution, ses points ont pour coordonnées
X = p cos6, r =' p sin0, - = ?(p)-
Pour une telle surface, on a
(2) ds^- = dx^-^ dy^-^ dz^ = [1 -f- o'»(p)] rfp«-+- p^^^B».
Il est toujours possible de choisir f (p) de telle sorte que les surfaces correspondant aux éléments (1) et (2) soient applicables l'une sur l'autre.
Posons
(^ = 6 et G(w) = p«.
Cette dernière relation définit u en fonction de p et, par suite, E{u)du^ prend la forme ^{p)dp^. Pour identifier (i) et (2), il n'y a qu'à déterminer o(p) par la relation
'-+-?'Vp)--=^(p) ou <p(?) = jy/^ipj-idp.
La surface correspondant à (1) est donc applicable sur une surface de révolution.
Comme cas particulier, supposons que la surface donnée soit un hélicoïde gauche à plan directeur, c'est-à-dire la surface réglée lieu des normales menées à un cylindre de révolution en tous les points d'une hélice tracée sur ce cylindre. On aura, pour celte
surface,
X = ucosv, y = us'iniff z := av,
a étant une constante. Donc
Nous sommes donc bien dans le cas étudié plus haut. Posons, conformément à ce qui précède,
il vient
rf5*= -^i jû?p*-+-p«rfe«.
La fonction çp(pD sera déterminée par Téquation
donc
,(p) = alog[|^^(£y,J,
ou
équation d^où Ton conclut
/ ?ipj y(p)\ / ? £\
p='^\^e"- -he « ; = |\^e"-he""; [puisque ;: = (p(p)].
La méridienne de la surface de révolution sera donc une chaînette tournant autour de sa base. Nous avons ainsi cette élégante proposition, qui n^est d^ailleurs qu'un cas particulier d'un théorème plus général dû à Bour :
Uhélicoide gauche à plan directeur est applicable sur la surface de révolution engendrée par une chaînette tournant autour de sa base.
i. Une classe très intéressante de surfaces est formée de surfaces applicables sur un plan. Nous allons montrer que ces surfaces sont développables, en suivant la méthode donnée par M. O. Bonnet. Prenons, comme paramètres, les deux coordonnées rectangulaires a et ^ dans le plan sur lequel est applicable la surface. P. - I. 39
43o APPUGATIO.NS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
Les coordonnées x, y^ z d'un point quelconque de la surface sont des fonctions de a et p, et Ton a
dx'^ -H dy"^ H- dz^ = dft> -h rf?*, ce qui entraine les trois identités
dx dx ày dy ^ âz âz ^ dï dp "^ 5ï dp "^ 5S 5p "" °'
Or, en dilTérentiant ces trois identités successivement par rapport à a et à ^, la comparaison des équations obtenues donne de
suite
da»
daà^
darfp
dadp
dpî
dp»
dp»
- dly
doL dp dadp da dp
Des deux premières égalités on conclut que les trois fonctions
de a et j3
dx dy dz
da da dx
sont fonctions de Tune d'entre elles; de même, en vertu des secondes égalités,
dx dy dz
dp' dp' dp
sont aussi fonctions de l'une d'elles. Par suite, en vertu de la relation
dx dx dy dy dz dz __
li'dp'^Ta. dp"*"didp""®'
ces 512? dérivées partielles sont fonctions d'un même paramètre.
Or on a
dz dx dy
da ^ da ^ da dz dx dy
p et q étant, comme d'habitude, les dérivées partielles de z par rapport à j: et à ^. II en résulte que p et q sont fonctions d'un même paramètre, c'est-à-dire que/? est fonction de^'. Lasur/ace est donc développât le ( * ).
5. Démontrons que, réciproquement, toute surface développable est applicable sur un plan. Nous considérons la surface développable comme le lieu des tangentes à une courbe gauche ; x^y^ z désignant un point arbitraire P de cette courbe gauche, et ^«î^D ^1 les coordonnées d'un point quelconque Pi de la génératrice tangente au point P à la courbe, on a
Xi — - X ->t- lOLy
l représente évidemment la distance PP«, et nous regardons x^ y y 3, ainsi que les trois cosinus a, p, y, comme fonctions de Tare s de l'arête de rebroussement. On a, pour le carré ds] d'un arc de la surface,
ds\ — dx\ -V- dy\ -f- dz\j
et, en se rappelant que
nous avons
ÏÏ* ds*
ds^
Le rajon de courbure R est une fonction de s. Il faut montrer que ds^ peut se mettre sous la forme du cairé de l'élément d'arc
(') Bien entendu, nous supposons dans l'analyse précédente, comme dans toute la géométrie infinitésimale des courbes et des surfaces, l'existence des dérivées dont nous avons besoin dans les calculs. Il peut sembler prématuré de penser à une théorie des surfaces où l'on ne ferait pas de telles hypothèses. Un résultat curieux a été cependant indiqué par M. Lebesgue ( Comptes rendus, 1898) ; on peut, à l'aide de fonctions continues, obtenir des surfaces correspondant à un plan, de telle sorte que toute ligne rectifiable du plan ait pour correspondante une ligne rectiûablc de même longueur de la surface, et les surfaces obtenues ne sont cependant pas réglées.
45a APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL LNFlMTÉSfVAL.
dans un plan. Écrivons, à cet effet,
ds] -^ (ds -hdl -h i-^ )(ds-hdl— i-=^ \ ,
OÙ t est le sj'mbole ordinaire des imaginaires.
Aucun de ces deux (acteurs n'est une différentielle totale exacte par rapport à 5 et /. Mais
e'J »^ fds
,, .lds\
est la différentielle totale de
leJ " ^ f eJ ^
ds.
Désignons cette fonction de / et de 5 par A 4- /B, A et B étant des fonctions réelles de / et s. On aura
rf;V-+-«rfB = e 'J'^ fds-i-dl +-i^-^U
d\ -idB = e~'J R fds ^dl-if-^\ et, par conséquent,
ce qui démontre bien que la sur/ace est applicable sur un plan. Le développement du calcul va nous conduire à un résultat intéressant. Posons
on aura alors pour A et B
/ cos fi ds^
A — / cos <y -h
B = /sin j -f-
Jf sinac/5.
A et B représentent les coordonnées rectangulaires dans le plan sur lequel on applique la surface, et les formules précédentes résolvent complètement le problème de l'application de la surface
sur le plan. Or considérons la courbe Ci obtenue en faisan l /=o; elle correspond à l'arête de rebroussement C de la surface développable. Celte courbe C| est donnée par les équations
cosdds.
^1= j s'iny ds
L'arc élémentaire dsi de (^, est égal à l'arc ds de C, puisque ds\ = d\\-hdBl = cisK
Nous avons déjà rencontré ces expressions de A, et B|, lorsque nous avons calculé les coordonnées des points dune courbe plane dont le rayon de courbure est donné en fonction de Tare (Chap. Xll/§H).
Nous en pouvons conclure que les rayons de courbure de la couibe plane Ci et de la courbe gauche C aux points correspondants sont les mêmes. Ainsi, quand on applique une surface développable sur un plan, son arête de rebroussement se transforme en une courbe plane et les rayons de courbure sont conservés. Enfin, comme on a
dXi dBi
cos<i= -j— > sina= ,-t
dsi dsi
les génératrices de la surface deviennent les tangentes à la courbe Ct dans le plan. Ces divers résultats sont à peu près évidents géométriquement.
