II. — Représentation conforme d'un plan sur un plan

7. Considérons deux plans rapportés aux coordonnées rectangulaires (Xjy) et(X, Y); on établit une correspondance entre les points de ces plans, soit

D'après ce qui a été vu au § 2, la condition nécessaire et sudfisanle pour que celte transformation conserve les angles est que

X étant indépendant des diflerentielles, c'est-à-dire ne dépendant que^de x ely.

Écrivons plus explicitement cette condition; elle revient aux deux relations

fdPy (dqy [dvy fdqy

dP dP dO dq

âx Oy dx oy

Telles sont les deux équations que doivent vérifier les fonctions P et Q. On peut les simplifier, car la seconde donne

dq ày

la va]

leur commune de (

;es rapports est

et est On

soit

égale, en vertu de la première équation, à a donc, soit

dP dQ^ dP dQ

dx dy dy ~ dx

dP dq dP dq

dx ~ dy' dy ~~ "dx'

et, pour passer du second système au premier, il suffit de changer Q en — Q. Nous pouvons donc nous borner au premier système

àx ~

dy--

àx

Nous retrouverons bientôt ce système qui joue, en Analyse, un rôle considérable. Si P etQ satisfont à ces deux relations, la transformation

\=rP{x,y), y^-q(x,y)

conserve les angles; on donne souvent le nom de représentation conforme d'un plan sur un plan aux transformations du type précédent.

Nous avons laissé de côté le second système que nous avions rencontré. Géométriquement, on passe du second système au premier, en prenant la symétrique de la figure transformée par rapport à Taxe OX.

8. La remarque suivante nous sera, plus tard, très utile. Soit une fonction V(a:, y)y satisfaisant à Téquation

On fait la transformation conforme

:r=P(X, Y), j. = Q(X,Y), V devient une fonction de X et Y; elle satisfait à l'équation

Pour s'en assurer, il suffit de vérifier la relation

âX^ "^ dY« ~ [\à\/ "^ [ôy) J \ dx^ '^ dy^j'

en calculant, d'après les règles élémentaires, les dérivées d'une fonction composée. On vérifiera aussi que

(sr-(s)'=i:(S)'-Q"]iw*ri)']-

9. Un exemple intéressant de transformation conservant les angles nous sera donné par la considération du système d'ellipses et d'hyperboles homofocales

Si X2> c^j on a une ellipse, et si X2< c* une hyperbole. Fai-

sons c= I, et considérons les courbes

H' "*" Yi — ~ ' ^^'^^ ^*^ ' (ellipses),

~-f--^^-i (o<|xS<i) (hyperboles).

Si l'on suppose que a: et^ sont positifs, à toute valeur de X^ et u^ correspond un point (x, y). On a d'ailleurs, en résolvant,

J.«=(X«-l)(.-fX«),

et de là résulte

d,,^rf^,= 4(X.„,)(g! + ^^).

Or, si l'on pose

on aura

donc la correspondance entre {x,y) et (a, P) conserve les angles. On a, d'ailleurs,

P = arc siiifjt,

et, par conséquent, en remplaçant X et a par leurs valeurs en a etp,

IX = - (e*-t- e-«) sin 3, '2 ^= (e«— ^-a) cosp.

On vérifiera que cette transformation rentre dans le second tjpe. Quand le point (a, ^) décrit dans son plan une parallèle à un des axes, le point (x, y) décrit une ellipse ou une hyperbole; toules ces ellipses et hyperboles sont homofocales. Nous allons en déduire facilement une propriété remarquable de ce système, mais commençons par définir ce que Lamé entend par courbes isothermes.

10. On démontre, dans la Théorie mathématique de la chaleur, que, si les points d^un plan sont en équilibre de température, c'est-à-dire si la température V en chaque point est simplement fonction des coordonnées x et ^ de ce point, et non du temps, cette fonction V(:r, jk) satisfait à Téquation

Pour un certain état d'équilibre de température, une famille de

courbes

(p(a7,7 ) = consl.

est dite isotherme, si pour tous les points de chacune de ces courbes la température est la même; celle-ci variera d'ailleurs d'une courbe à l'autre. Pour que les courbes © = G soient isothermes, il faut et il suffît qu'il existe une fonction de (p satisfaisant à l'équation (4), puisque V(;r,j^) doit être une fonction de ç. Cherchons la condition pour qu'il en soit ainsi; soit

En substituant dans l'équation (4), on a

ce que nous écrirons

rf© \àx/ \ày }

Le premier membre ne dépend que de cp ; il doit en être de même du second. Or, ç étant donné, on peut former ce second membre; la condition nécessaire pour que la famille cp = C soit isotherme est que ce second membre se réduise à une fonction de cp. Cette condition est aussi suffisante, car, si elle est remplie, la relation précédente permet de trouver la fonction V(cp) par une quadrature.

Montrons c[\iune transformation conservant les angles trans-

SUlCFACBS APPLICABLES. — REPRÉSENTATION CONFORME. 4^9

Jorme une famille de courbes isothermes en une autre famille de courbes isothermes.

Ainsi nous efiectuons sur ^ et ^ une transforma lion de la nature de celles que nous avons considérées plus haut

ar = P(X,Y), on a une famille de courbes isothermes

elle se transforme en la famille

il faut montrer que la famille <I» = C est aussi isotherme. Nous avons vu en eflFet (§ 8) que

dX«

ô\^''"[\d\) ' \d\) \\dx'i~^ dy^l' et que

(m) -Uj =|.Uj H-sy) \[[r.) -U7) J'

par suite, en divisant

Si donc le second membre est une fonction de ^ , nous sommes assurés que le premier sera une fonction de © et, par conséquent, de ^. Les courbes <^ = C sont donc isothermes.

11. Revenons aux ellipses et aux hyperboles homofocales étudiées au § 9. La transformation (3), qui conserve les angles, transforme ces ellipses et ces hyperboles en deux systèmes de droites

a = const., p ^ coDst.

Or ces syslèmes de droites forment évidemment des systèmes isothermes. Nous avons donc, par suite, ce théorème de Lamé :

Les ellipses et les hyperboles homofocales forment un système de courbes orthogonales et isothermes.

III. — Quelques exemples de représentation conforme. Sur les substitutions linéaires.

12. La théorie des fonctions d'une variable complexe nous donnera des systèmes de fonctions P(-r, y) et Q(^, ^) permettant de réaliser une représentation conforme. Sans anticiper sur des généralités qui auront leur place au commencement du Tome II, bornons-nous à prendre une fraction rationnelle de z, F(^)î les coefficients dans celte fonction rationnelle étant des quantités réelles ou imaginaires. Posant alors

z- x-\- iy (i = v/^ 1);

nous pouvons mettre F(5) sous la forme

i^ et Q étant des fonctions rationnelles réelles de x et y. Or, en dérivant successivement les deux membres de Tidentité

par rapport k x et hy^ on a

dx ^ âx '

dP .dQ

dy dy On conclut de là

\dx

) ày

, par suite, La transfori

nation

dx '" d?

ày~

dQ dx'

^yy),

QC^,^)

SURPAGES APPLICABLES. — REPRÉSENTATION CONFORME. !\6l

conservera donc les angles. Celte transformation, en posant X 4- £ Y = Z, peut s'exprimer par Tunique égalité Z =f(^z),