Nous allons étudier le cas particulièrement simple où
„, . az ^ b , , ^i-J= .-— ^ {ad-bc^o), cz -t- a
a, 6, c, d étant quatre constantes réelles ou imaginaires. Nous avons alors la substitution linéaire exprimée par Tégalilé
az-\-b cz -h d
faisant correspondre le point (X, Y) au point {x, y). Montrons que cette transformation est susceptible d'une interprétation géométrique.
Soit d'abord considérée la substitution
Z =z az.
En posant
Z^Ke'^, z^rei^
on aura
R = A/', il =
: II) -i- a.
Pour avoir le transformé d'un point ou plus généralement d'une figure, il suffira donc de prendre son liomothétique par rapport à l'origine avec k pour rapport d'homolhélie et de faire tourner d'un angle a autour deTorigine.
Un second cas particulier encore plus simple est celui où l'on a
la transformation équivaut manifestement à une translation égale et parallèle à la droite joignant Torigine au point représentant la quantité imaginaire b.
Arrêtons-nous encore sur le cas particulier où
On a alors
462 APPLIGATIOxNS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
Le point (X, Y) est donc le symétrique par rapport à Ox du point transformé de {x, y) par rayons vecteurs réciproques (Rr=i).
On voit aisément que la transformation générale
cz T- d
peut être obtenue en combinant les transformations précédentes; on peut, en efTet, écrire
' cz -h d
Si donc on fait successivement les transformations successives
on réalisera la transformation cherchée, en employant seulement les cas particuliers indiqués.
14. La transformation (5) transforme une circonférence en une autre circonférence, La démonstration est immédiate, puisque chacune des transformations partielles transforme un cercle en un cercle ; le fait est évident pour Phomothétie et la translation, et, pour la transformation par rayons vecteurs réciproques, c'est un théorème bien connu. Il est d-ailleurs facile de démontrer directement cette proposition. Partons, à cet effet, d'une forme souvent utile, de l'équation du cercle. On va désigner dans la suite, d'une manière générale, la quantité imaginaire conjuguée d'une grandeur par la même lettre affectée de l'indice zéro; ainsi
Ceci posé, l'équation de tout cercle peut s'écrire
(()) ^^g+- A^ H- Ao^o-r- B — o (z = X -h ij"),
A étant une quantité complexe et B étant réel. Cette équation
SURFACES APPLIGABLRS. - REPRÉSENTATION CONFORME. l\6'6
revient en effel à
x^-i-yt-^ 2ax — %^y — B = o.
Si donc nous voulons chercher le transformé du cercle (6) par la substitution (5), nous n'avons qu'à remplacer z par sa valeur en fonction de Z; or on a pour z une expression de la même forme
el, en substituant dans (2), la relation devient
ZZo-f-A'Z-^-AiZo-^B'=o,
B' étant réel; ce sera donc encore l'équation d'un cercle.
15. Nous allons maintenant particulariser encore davantage, en supposant que a, 6, c, d sont réels, et que, de plus,
ad — bc ~ i.
Des substitutions de cette forme se présentent dans plusieurs théories importantes. Nous représenterons la substitution
par la notation
az -\~ b es -\- d
/ az -i- b\
qui exprime que l'on remplace z par ,*
Cette substitution transforme en lui-même le demi-plan situé au-dessus de Taxe O^; des quantités réelles, c'est-à-dire qu'à tout point de ce demi-plan correspond un point du même demi-plan.
En effet, de T égalité
a(x-^ijr)-^b
c{x -+- ly) H- a on tire de suite
{ex -f- û^)*-f- c*x*'
Y est donc de même signe que y, A un point de l'axe Ox correspond un point delà même droite. La substitution transformera
évidemment aussi en lui-même le demi-plan situé au-dessous de Ox'j nous ne considérons dans la suite que le demi-plan supérieur, cVst-à-dire les points correspondant ày > o.
Considérons un cercle ajant son centre sur O j: et par conséquent orthogonal à celle droite; la substitution le transformera en un autre cercle qui devra être orllioi;onal à la transformée de Ox, c'est-à-dire à O^. Par suite, le cercle transformé aura encore son centre sur Taxe des x. En particulier, toute droite perpendiculaire à Ox se transformera en un tel cercle.
16. Soit une suite indéfinie de substitutions, toutes de la forme
\ cz-\-dJ
(a, b, Cf d réels et ad — 6c =i). On dit c\\i elles forment un groupe, quand, deux substitutions quelconques étant prises dans cette suite et eflTectuées successivement, on retombe sur une substitution faisant parlie de la suite. On a surtout étudié le cas où toutes ces substitutions peuvent êlre obtenues en composant un nombre fini d'entre elles, c'est-à-dire en faisant le produit d'un nombre quelconque de puissances positives ou négatives de certaines substitutions en nombre fini. Par puissance posithe d'une substitution, on entend celte substitution répétée successivement un certain nombre de fois. Pour définir les puissances négatives, il faut seulement définir la puissance — i d'une substitution : S désignant une substitution, on entend par la S~* la substitution inverse donnant z' en fonction de z par la relation
az'-h h cz -\- d
de sorte qu'en faisant successivement la substitution S et la substitution S~*, on retombe sur la substitution identique {z, z).
Le groupe ainsi formé est dit discontinu dans le demi-plan, quand, A étant un point arbitraire de ce demi-plan en dehors de l'axe réel, il n'existe pas, dans le groupe, de substitution transformant A en un point différent de A et dont la distance à celui-ci soit moindre qu'une quantité donnée à l'avance, si petite <ju'elle soit. M. Poincaré a fait la théorie de ces groupes, qu'il a appelés
groupes fuchsiens (*), et il a donné la loî générale de leur formation.
C'est dans la théorie des fonctions elliptiques que s'est rencontré autrefois le premier groupe fuchsien. Ce groupe, formé de substitutions
/ az-¥ b\
où a, b, c, d sont entiers, a fait l'objet des recherches de M. Hermile {Mémoire sur la théorie des équations modulaires). L'étude complète des groupes linéaires à coefficients entiers a été faite par M. Klein dans ses mémorables études sur les fonctions modulaires; elle est du plus grand intérêt pour la théorie de la transformation des fonctions elliptiques (^).
17. Nous allons nous borner à quelques remarques essentielles sur le groupe formé par les substitutions
/ az'^b\
où a, 6, c, d sont quatre entiers réels quelconques satisfaisant à la relation ad — bc= i.
Tout d'abord il faut.montrer que ce groupe est bien discontinu. IjB. relation
az -^ b
donnant
cz
on voit que, si le dénominateur
(ex -\- d)*-\-c*jrt* |Y-^|<e,
est inférieur à --^; les entiers c et rf ne peuvent donc avoir
(*) H. PoiNCARÉ, Théorie des groupes fuchsiens (Acta mathematica, t. I). (') F. Klein, Vorlesungen ûber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen,
qu'un nombre limité de valeurs. D'autre part, si
az -4^- b cz-7- d
|7i| étant, comme e, inférieur à un nombre déterminé très petit,
mod (az -f- b)
ne dépassera pas une limite facile à calculer; a et 6 ne pourront donc aussi avoir qu'un nombre limité de valeurs. Les substitutions à considérer étant en nombre fini, il ne pourra y avoir de substitution transformant z en une valeur qui en diffère d'aussi peu qu'on veut. Le groupe est donc discontinu.
Le raisonnement précédent suppose essentiellement que y est différent de zéro, c'est-à-dire que le point z n'est pas sur l'axe réel.
Pour les points de Taxe réel, au contraire, le groupe n'est pas discontinu. C'est ce dont on peut facilement se rendre compte en considérant la substitution du groupe
(i -\- ac)z — a*
c*z -h i — ac
a et c désignant deux entiers quelconques. Cette substitution peut s'écrire
cZ — a cz — a
Si donc, partant d'un point z arbitraire, on répète celte substitution un nombre infini de fois, on aura un nombre infini de point tendant vers le point
Or, si z est réel, tous les points ainsi obtenus sont réels. On a par suite, dans le voisinage de -> un nombre infini de points correspondants, ce qui est en opposition avec l'hypothèse que le groupe serait discontinu sur l'axe réel.
18. Le groupe discontinu qui précède conduit à partager le demi-plan en un nombre infini de triangles : c'est cet intéres-
SnBFAGES APPLICABLBS. — REPRÉSENTATION CONFORME. 4^7
sant résultat que je voudrais indiquer. Je le rattacherai à la théorie arithmétique de la réduction des formes quadratiques définies; il nous faut donc d'abord ouvrir une parenthèse pour établir, avec Lagrange, la notion de forme quadratique réduite. Soit une forme quadratique
/(x, y) = ax^-\- ihxy ~\' cy^^
où a, 6, c sont des quantités réelles quelconques satisfaisant aux inégalités
a > o, c > o, 6* — ac < o,
ce qu'on exprime en disant que la forme est définie et positive. Concevons qu'on effectue sur x ei y toutes les substitutions à coefficients entiers positifs ou négatifs
X — aar'-f- ^y
I (a8-PY = 0;
on aura ainsi une infinité de formes quadratiques qu'on dit équivalentes à la première, dans lesquelles les coefficients de x^ eiy^ sont évidemment positifs et dont le discriminant est le même. Nous voulons, parmi toutes ces formes équivalentes, en rechercher une ou plusieurs jouissant de propriétés spéciales.
A. cet effet, prenons d'abord, dans l'ensemble des formes équivalentes, celles où le coefficient de x^ est le plus petit possible; dans les formes ainsi mises à part, prenons la forme ou les formes où le coefficient de y^ est lui-même le plus petit possible. Nous allons montrer qu'en appelant
F = Xx^-^2Bxy-^Cy^
une telle forme, on a nécessairement (7) Age, 2|B|<A,
La première inégalité est évidente, puisque, si elle notait pas vérifiée, on n'aurait qu'à faire la substitution
pour avoir une forme dans laquelle le coefficient de ^* serait plus petit que celui de x^ dans F, ce qui est contre l'hjpothèse.
Pour établir la seconde inégalité, faisons la substitution
X "*" X ""^ li. w \
' (fi entier quelconque), la forme deviendra
donc on a
G — aBfi-h Afi«^C,
ce qui entraîne
Les coefficients des formes F satisferont donc aux deux inégalités indiquées (7); on donne le nom de formes réduites aux formes satisfaisant à ces conditions.
Si l'on pose
B« — AC = ~D (D>o),
on a, pour une forme réduite,
A«SAG, 4B«gA«<AG; donc
