AS A

d^où nous concluons

aai|d.

Je suppose que la substitution à coefficients entiers

{X, y, ax -h P7, fx -h 8^) (ao — Py = 0 transforme la première forme en la seconde. On a

Or

et, puisque

il en résulte

A'= Aa» -h2BaY-+-CY*,

B' = A ap -f- B ( «8 -H Py ) -h C y5.

AA'=:(Aa4-BY)*-HDYî,

AA'g|D.

Or

soit Y = o, soit Y = — '• I ° Prenons d'abord l'hypothèse y = o, alors a = 8 = ii= i ; donc A = A', B' = ibApH-B.

|B'|<- = - et |B|<-.

Pour qu'on ail B' — B = ±:Ap, la valeur de p ne peut être que o, ±:i.

Si p = o, on a B'= B, et les formes coïncident.

Si p = =i= I , on a B'= — B = dz — , d'où les deux formes

Xx^dz Xxy -h Cy*^ kx^z^Axy-{-Cy^.

2^ Supposons maintenant que Y = dbi. Dans les calculs qui suivent, les signes supérieurs correspondront à l'hypothèse Y = + I > les signes inférieurs à y = — i • On aura

A'= Aa«dz2Ba-+-C; or

470 APPLICATIONS GtOHÉTRIQUBS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

donc

Aa'ibîBaSo, et comme

2|B|^A, ce qui eDlraîne

Aa*±2Ba^o, il en résulte

Att»±aBa = 0, par suite

A'=G, donc A = A'--G.

La relation Aa*riz2Ba = o entraîne soit a = o, soit a*= i , puisque 2 |B |2 A.

Si a est nul, on aura, en se reportant à la valeur de B',

et comme

il en résulte que Ton a

soit 8'=o, soit 8*=i.

Dans le premier cas, la forme (A', B', C) ne diffère de la forme (A, B, C) que par le signe du second coefficient. Dans le second cas, la relation

B'î— A'C'=Bî — AG

donne

(— B =h A8 )«— AG' = B»— AG,

d^où Ton déduit

G'= 2A :^ 2B8 =-. 2( A ZF B8).

Or

B'=^ — BdzAS

et, par suite,

G' = zfc:2B'a (puisque 8»=i).

Mais, comme la forme (A', B', C) est réduite, on a

G'èA' et, par suite,

Cette inégalité est impossible, puisque 2lB'|^A'. On a donc,

SURFACES APPLICABLES. — REPRÉSENTATION CONFORME. t\'Jl

dans la forme (A', B', C),

Si a^ est égal à un, on a

2B = =i-Aa.

En se reportant à la valeur de B', îl vient

B -+-B = Aap,

et comme

ib;::^-, |B''<-,

on ne peut avoir que p = o ou p*^ = i .

Dans le premier cas, la forme (A', B', C) ne diffère de (A, B. C) que par le changement de signe du terme moyen.

Dans le second cas, puisque ici | B ] = -> on aura

2lB'| = A'.

C'est la même conclusion que plus haut.

De cette discussion résulte la conclusion suivante : Dans un système de formes définies positives équivalentes, il n^existe qi£une réduite

sauf dans le cas où l'on a

soit A — G, soit a)B|=A.

Le calcul ci-dessus enseigne, dans ces cas, à former les réduites équivalentes.