X, M, II', M

puisque M tend vers (x en décroissant, et M' vers jjl' en décroissant et que, la subdivision étant assez avancée, M est très voisin de ijl comme M' de [l',

M' — M est donc positif, mais nous avons l'inégalité précédente qui nous montre que cette différence est moindre que

si les subdivisions ont été poussées assez loin, h étant aussi grand que l'on veut». Donc a = jjl'.

3° 11 reste à considérer le cas où la loi de succession des subdivisions serait quelconque. Or, soit un mode quelconque de subdivision ô'; chacune des sommes M' est supérieure à [x, puisqu'en partant de la subdivision par fractionnement des intervalles on arriverait à |jl par une suite décroissante.

Soit d'autre part M un mode de subdivision donnant la limite ul; on a

donc

.rM-<M-^lJ-^y^-"^:

llfTÉGRALES DÉFINIES. I9

or M diffère de |ji d'aussi peu que l'on veul, et j est aussi pelit que l'on voudra.

Donc M' a jjl pour limite. c. q. f. d.

li. Si nous revenons maintenante la définition de Riemann donnée au § 9, la somme 2 sera comprise entre

M|Oi-+- MjOj-!-. . .-t- M/,8rt et miOy-h mt^^-h. . .-h rrin^n'

Pour qu'il y ait toujours la même limite, quels que soient les 0, il faut évidemment que ces deux limites soient les mêmes. Si donc nous désignons par A/ l'oscillation de la fonction dans l'inlervalie ùiy et que nous posions

A = A| 8i-4- AjSï-f-. . .-7- A,jOrt,

les fonctions intégrables seront celles pour lesquelles

lira A = o.

i2. La condition nécessaire et suffisante donnée par Riemann pour qu'une fonction soit intégrable peut maintenant être formulée de la manière suivante :

Pour que limA = o, il faut et il suffit que la grandeur totale des intervalles pour lesquels l'oscillation est plus grande que <t (t est une quantité fixe aussi petite que l'on veut) tende vers zéro quand le nombre des intervalles augmente indéfiniment, tous les intervalles tendant vers zéro.

D'abord la condition est nécessaire, car si la grandeur des intervalles pour lesquels l'oscillation est plus grande que t est égale à /, on aura

Donc A ne tendra pas vers zéro, si / ne tend pas vers zéro. La condition est suffisante, car, si elle est remplie, on déduit de l'inégalité évidente

A i:tj{ù — a)-f.(B — A)/,

que A a zéro pour limite, puisque / tend vers zéro et que v est aussi petit que l'on veut.

13. Diverses conséquences résultent immédiatement de la définition de l'intégrale. Tout d'abord si f{x) est une fonction intégrable, l'intégrale

¥{x)= f f{x)dx

est une fonction continue de x. En second lieu, supposons que la fonction /(a?) soit continue pour x = Xq. Alors, dans l'intervalle compris entre Xq et^oH- A, la fonction /(x) est comprise entre /{xq)-\- e et/(^o)— £î '3L quantité e étant très petite si h est très petit. On aura donc

F(a:o-H/0— F(xo)= / f{x)dx<h[f{x^)+t],

et de même

F(:ro-H h)^ F(xo)> h[f{x^)^ t].

De là résulte immédiatement que

F(.ro+/i)-F(jro) hm r =/(aro).

Ainsi la fonction f{x) sera dérivée de F (a:), pour toutes les valeurs de x pour lesquelles /(a:) est continue.

Remarquons en second lieu qu'une îonciion f(x) gui n'est Jamais décroissante est susceptible d'intégration. Les sommes M et m sont ici respectivement

M =/(xi)(ari— «)-!-/( ar,)(a72~^i)H-... H- /(6) (ô — .r^,-,),

m=r/(a) (xi^ a) -^f(Xi){Xt — Xi)'h. . .-r-f{Xn-i)(b — Xn^i)^

La différence M — m est donc

Soit 8 le plus grand des intervalles; cette différence est moindre que

8S[/(:r,^0-/(^/)] ou c[/(b)-f{a)].

Elle tend donc vers zéro, quand tous les intervalles tendent vers zéro. La fonction est donc intégrable d'après le théorème de Riemann.

Nous nous bornerons pour le moment à ces remarques géné-

raies. En étiidiaDt au Chapitre VIII, Sect. II, la théorie des séries dont les termes dépendent d'une variable, nous donnerons des exemples de fonctions intégrables discontinues dans tout intervalle.

IV. — Remarques générales sur la longueur d'un arc de courbe. — Courbes de M. Peano et de M. Hilbert remplissant une aire plane. — Fonction continue n'admettant pas de dérivée.

14. Dans la section II, nous avons déjà défini la longueur d^un arc de courbe. En nous bornant à une courbe plane, reprenons les deux équations

en supposant que y et f soient deux fonctions continues de /, ainsi que leurs dérivées f{t) et «p'(^) quand cette variable varie entre a et b.

Dans ces conditions nous avons défini la longueur de Tare de courbe, et trouvé son expression. Cette étude est très suffisante pour les applications, mais à un point de vue plus général, on doit se demander si Ton pourrait parler d'un arc pour une courbe définie par les deux équations précédentes, où l'on ne supposerait pas que les deux fonctions continues f{t) et (p(/) aient des dérivées.

Dans son Cours d^ Analyse de V Ecole Polytechnique (t. I, a* édition, p. io5), M. Jordan a fait l'étude complète de la question ('). L'éminent géomètre arrive au théorème suivant :

Pour que la courbe soit rectifiable, c'est-à-dire pour qu'il existe un arc s fonction continue de t, il faut et il suffit que f{^)c^^{^) soient des fonctions continues et à variation bornée.

Voici ce qu'il faut entendre par une fonction continue à variation bornée : Supposons que l'on partage l'intervalle (a, b) par les

points de subdivision

a, /i, . .., tn-\,b

(«) Voir aussi sur ce sujet Sgheefbr, Acta Mat., t. V, et Study, Math, Jnnalen^ t. XLVII.

et considérons la somme

où |A| désigne, suivant l'usage, la valeur absolue de A. Si cette somme reste, quels que soient les intervalles, moindre qu'un nombre fixe, la fonction f{t) sera dite à variation bornée dans rinlervalle {a^b).

15. Nous renverrons au Traité de M. Jordan pour la démonstration de ce théorème. Nous voulons seulement montrer ici combien la notion de courbe, qui paraît au premier abord si simple quand on se donne x el y en fonction d'un paramètre t^ est en réalité complexe. M. Peano (*) a le premier appelé l'attention sur une circonstance extrêmement curieuse : // est possible de former des fonctions continues f{t) et 'f(t) {de t =^o à ^ = i), telles que si l'on pose

on puisse trouver une valeur de t^ entre les limites indiquées, pour laquelle le point {x,y) coïncide avec un point arbitrairement choisi dans le carré de côté un construit sur ox et oy. On voit que l'on obtient ainsi en quelque sorte une courbe qui remplit entièrement Vaire d'un carré.

Nous indiquerons un exemple extrêmement simple d'une courbe possédant la propriété précédente, donné par M. Hilbert (2). Considérons un segment de droite de longueur w/i, et un carré dont le côté est aussi égal à l'unité. Partageons d'abord le segment de droite en quatre parties égales^ et le carré en quatre carrés égaux et numérotons les segments de droite et les carrés partiels.

Partageons de même chacun des segments de droite en quatre parties égales et chacun des carrés partiels en quatre autres, et numérotons les seize carrés dans l'ordre indiqué par la figure, de

(*) G. Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire plane (Math. Annalen,t, XXXVI).

(') HiLBERT, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flàchenstiick {Math, Annaten, t. XXXVIII).

manière que chaque carré ait un côté commun avec le carré suivant. On peut ainsi continuer en divisant chacun des segments de

Fig. 2.

Fig. 3.

tfi

droite et chacun des carrés en quatre parties égales ; nous aurons ainsi les soixante-quatre carrés numérotés en nous arrangeant

Fig. 4.

toujours de façon que chaque carré ait un côté commun avec le suivant. Nous pouvons voir qu'à chaque segment de droite sur la droite (o,i) correspond un carré déterminé.

On continuera ainsi indéfiniment cette opération. 11 est alors facile de voir comment à chaque point de la droite (o,i) va correspondre un point du carré initial. Soit a le point de la droite; dans les différents modes de subdivision, il y a un segment comprenant le point. Tous ces différents segments sont compris les uns dans les autres et tendent vers le point. A chacun des segments correspond un carré et tous ces carrés sont compris les

uns dans les autres; ils diminuent indéfiniment et tendent donc vers un point limite qui est le point A du carré correspondant au point a. Cette correspondance est uniforme, c'est-à-dire qu'à un point a ne correspond qu'un point A. Nous pouvons donc dire, en désignant par (j?,j^)les coordonnées de A, que nous avons

t désignant la dislance de a à l'origine. Remarquons qu'à un point A du carré correspondent w/i, deux ou quatre points a. Il peut arriver, en effet, qu'un point appartienne à deux ou quatre carrés qui ne se suivent pas dans le numérotage; tel est, par exemple, sur la figure, le point B.

16. Les fonctions /(/) et ©(/) que nous venons d'obtenir sont évidemment des fonctions continues de /. Elles offrent un exemple très simple de fonctions continues n'ayant pas de dérivées. Si, en effet, ces fonctions avaient des dérivées, il y aurait un arc pour la courbe considérée, ce qui est manifestement absurde, la courbe remplissant le carré.

V. — Intégration par parties. — Formules de Taylor. Changement de variable.

17. Nous avons vu plus haut qu'étant donnée une fonction continue/(^), il existe toujours une fonction continue ayant f{x) pour dérivée. Quant à la recherche effective de cette fonction, elle ne peut pas en général être faite; c'est qu'en effet l'opération de l'intégration conduit le plus souvent à une transcendante nouvelle, qui n'est pas susceptible de s'exprimer à l'aide de fonctions introduites auparavant dans l'Analyse mathématique. On voit donc, dès le début du Calcul intégral, s'introduire au moyen de l'intégration un nombre illimité de fonctions nouvelles. Nous étudierons bientôt quelques cas particuliers en prenant pour/(x) des fonctions très simples.

Le procédé d'intégration dit par parties permet de transformer une intégrale en une autre, et il y a là souvent une facilité pour la recherche effective de cette intégrale. Soit l'intégrale .