IX
u et r désignant deux fonctions continues de x. En se servant de
la formule
dv d{uv) du
dx dx dx
nous aurons immédiatement, en multipliant par dx et intégrant de a à 6,
/ u-j-dx^(uv)^ — / ç -y-dxy
OÙ (wi')* représente la différence des valeurs du produit uv pour ^ = a et a; = 6. On voit que les calculs des deux intégrales
I u -i-dx et I V -
se ramènent l'un à l'autre.
Plus généralement, on peut ramener Tune à l'autre les deux intégrales
où -T— ^ et -T-^ désignent les dérivées d'ordre n des fonctions u
et %^ de X, On le verrait sans peine en appliquant n fois de suite l'intégration par parties; mais, pour obtenir la formule finale sous une forme plus élégante, prenons, avec M. Rronecker (*), deux fonctions y(j;) et g{x), et partons de l'identité
D'une manière générale /^"^(ar) désigne, suivant l'usage, la dérivée d'ordre ndef{x), et g^"^{ — x) la dérivée d'ordre /i de g{x) où l'on remplace x par — x.
Faisons successivement dans (5) A ^-:r i, 2, . . . , n et additionnons. On aura
fi»>(x)g{^x)^f(x)g^n)(^^x)=:^-^[/^à-v(^a;)i^^n-M(^^x)l
( ■ ) Ueber eine bei Anwendung der partiellen Intégration nùtzlische Formel ( Mémoires de V Académie de Berlin, 1884 ).
et, si l'on inlègre enlre a et 6,
Le calcul de la seconde intégrale se trouve donc ramené à celui de la première.
18. Indiquons deux applications de la formule précédente. Posons
nous aurons
f h'in^^Ux)^ ^dr—f r{x)dx
et en développant
C^est la formule de Taylor, Le reste se présente sous la forme d'une intégrale définie. Il est facile de mettre ce reste sous la forme habituelle, en se servant du théorème démontré au § 3, si Ton suppose que F^''+*^(j;) soit continu (*). On peut, en effet, écrire
\ étant compris entre a et fe (2).
(*) On sait que la démonslration classique de la formule de Taylor n'exige pas la continuité de F("-^')(2:).
(*) On peut donner d'autres formes au reste, mais nous n'approfondissons pas cette étude de la formule de Taylor, bien connue de tous les élèves de Mathém a> tiques spéciales. Quand on veut passer de la formule de Taylor au cas de la série, il faut voir si le reste tend vers zéro, quand n augmente indéHniment.
Comme seconde application, nous prendrons
g{x) = (a7-i-a)'»(a:-f-6)«; la formule se réduira alors à
Les fonctions sont en nombre très limité pour lesquelles cette étude peut être faite directement. Dans un Mémoire récent {Math. Annalen, t. XLIV ), M. Pringsheim a donné un résultat remarquable au point de vue théorique.
Pour que dans l'intervalle x/^x < x^-i- R, la fonction bien déterminée /{x) soit développable par la série de Taylor
il est nécessaire et suffisant que /{x) ait pour toute valeur de x dans l'intervalle considéré des dérivées de tout ordre restant finies, et que de plus pour toutes les valeurs de h et k satisfaisant aux conditions
oÇhÇh + k< R, / 'expression
\.2.. .n tende vers zéro.
Dans le même Mémoire, M. Pringsheim donne un exemple intéressant d'une
fonction /(x) ayant des dérivées finies de tout ordre et qui n'est cependant pas
développable en série de Taylor. Cet exemple est donné par la série
où a et X sont des constantes réelles avec | a ] > i. La série converge uniformément dans tout intervalle fini, et l'on voit facilement que Ton a
/(o) = e*, /(''»-')(o) = o, /(2'")(o) = (— I)'»I.2...(2/n)e^-^'"• Lla série de Mac-Laurin formée avec ces dérivées est
Eile diverge si \ est positif; elle converge, mais ne représente pas f{x) quand X esi négatif. Nous renvoyons au Mémoire de M. Pringsheim pour la démonstration de ces résultats. Quand on se place au point de vue de la théorie des fooctioDS d'une variable complexe, l'étude de l'exemple précédent est d'ailleurs immédiate.
Le premier terme de celle relation sera nul, si/(T) est un polynôme, d'ailleurs arbitraire, de degré (n — i), et, par suite, nous avons, en posant
où A est une constante,
Pn{^) est un polynôme de degré n, et /(a?), je le répèle, représente un polynôme arbitraire de degré n — i . La relation précédente exprime une propriété remarquable du polynôme Pii(^) de degré n; nous allons montrer qu'elle le définit complètement à un facteur près. Supposons, en effet, qu'il y ait un second polynôme Yfi de degré /i, tel que
on aurait, C étant une constante arbitraire,
f {Pn-CYnf{x)dx = 0.
Or on peut choisir G de manière que P,i — GY„ soit de degré n — I . Nous pouvons alors prendre, le polynôme /(j?) étant arbitraire,
et nous aurions
Ç (P„-GY„)«û^ar = o,
ce qui entraîne nécessairement P„ — CY„ = o pour toute valeur de x\ doncYn ne diffère de P,i que par un facteur constant. On aura en particulier
b P//1 P« dx = o si m ^ n.
De cette seule égalité on peut conclure une relation remarquable
entre trois poljnomes P^ consécutifs. Pour définir complètement ces polynômes, supposons que le premier coefficient dans chaque polynôme soit l'unité. On aura évidemment
a7P«= P„H.,-f- CoPn + . . .+ G«Po,
les G étant des constantes déterminées par cette identité même.
Je dis que
C2 = Cj = . . . = C« = o.
Multiplions en effet par P«2 dx les deux membres de Tidentité et intégrons entre ael b: nous aurons
Cj i Pî j dx = o.
Le multiplicateur de C2 étant une somme de quantités de même signe n'est pas nul; il faut donc que €2=0. Pareillement/ on verra que C3, . . ., C^ sont nuls, en multipliant par P/t^s? . . ., Po ridentité écrite plus haut. 11 reste donc
xPn= P«-+-i -+- Co P« -h G, P;,-, :
c'est la relation entre trois polynômes consécutifs P«i, P^, Pn^\ que nous voulions obtenir, et qui est fondamentale dans la théorie de ces polynômes, qui sont pour a = — 1 , 6 = 1 et une détermination numérique convenable de A, les polynômes de Legendre.
19. On pourra souvent faire avec profit, dans une intégrale définie, un changement de variable. Imaginons donc que dans l'intégrale
1= r f{x)dx
on considère x comme une fonction ^{t) d'une variable t\ nous allons supposer d'abord que, lorsque t varie d'une manière continue et dans le même sens de ^0 à T, ^ varie aussi d'une manière continue et dans le même sens de a à 6. Si Ton substitue la variable ^ à la variable x dans la sommation, par quelle nouvelle sommation représenterons-nous la valeur de l'intégrale? Pour le voir, partageons l'intervalle de ^0 à T en n intervalles
3o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
correspondant aux valeurs ^i, /»» • • -i '//--< > soient X|, .r2, . • ., .r„, les valeurs correspondantes de x. On aura, d'après le théorème des accroissements finis,
x, — a -(/,-~/o)?'(0,), a7î-^,-(tî-/i)»'(0O,
6/ d'une manière générale étant compris entre tu\ et ti. Nous désignerons par \i la valeur de x correspondant à ^ = ô/ : \i sera compris entre ^/i et xi. Je forme alors la somme
qui deviendra l'intégrale I à la limite. On peut l'écrire
(^ - t,) 'f'(0O/[?(0,)] -+-...-- (T - tn-x ) T'(0«)/[o(e„)],
et, quand tous les intervalles tendent vers zéro, cette somme devient
Ainsi donc, pour efiecluer le changement de variables dans une intégrale définie, on remplace simplement x par (p(^) et dx par (ù'(^t)dt et l'on prend comme nouvelles limites les valeurs de / correspondant aux limites primitives.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que, t variant dans le, même sens de /© à T, x variait lui aussi dans le même sens de a à 6. Cette restriction est inutile, pourvu que la fonction f{x) soit continue pour l'ensemble des valeurs que prend x^=o{t) quand t varie de t^ à T. Admettons en efl*et que, t variant d'une manière continue et dans le même sens dans cet intervalle, la fonction :r = îp(f) varie d'abord dans le même sens de t^ à ^4, et soit j;, = <p(^,); puis supposons que, t variant ensuite de t^ à /j, x varie dans un sens toujours le même, mais différent du précédent, depuis ^1 jusqu'à ^2= ?('2)î et qu'enfin, / variant de t^ à ï, x varie de X2 9l b dans les mêmes conditions. Les valeurs x^ et X2 pourront d'ailleurs ne pas être comprises entre a et b. On aura.
INTÉGRALES DÉPfT<IIBS. 3l
d'après ce qui vient d'être démontré,
f f(x)dx= f A^W(i)dt;
et, par suite, en faisant la somme,
f f{x)dx= f /(^)o'(t)dt.
Cette formule est donc générale.
On ne doit pas oublier que, dans ce qui précède, la fonction x = «( ^), servant à effectuer le changement de variable, est une fonction de / ajant pour chaque valeur de t enlre t^ et T une valeur unique parfaitement déterminée. L'application brutale de la formule précédente, sans se rappeler les conditions pour lesquelles elle a été établie, peut conduire à des résultats absurdes. Que l'on
prenne par exemple
dx
et qu'on fasse sans précaution le changement de variable x'^=^ t. Comme pour x — duit à l'intégrale
Comme pour :r =r rh i on a / = i , et que dx =: — ^-> on sera con-
ly/t
r-^' dt
c'est-à-dire à zéro, ce qui est absurbe. Il est manifeste que nous ne sommes pas ici dans les conditions précédemment supposées.
3a INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
VI. — De llntégrale défînie quand la fonction ou les limites deviennent infinies.
20. Dans l'étude que nous avons faite des intégrales définies, nous avons supposé que la fonction sous le signe d'intégration restait finie entre les limites et pour les limites elles-mêmes. Nous allons étendre la notion d'intégrale définie en supposant que la fonction devienne infinie, soit pour l'une des limites, soit entre ces limites.
Considérons donc l'intégrale
f f{x)dx,
f{x) étant une fonction réelle de la variable réelle x^ et supposons que cette fonction, finie et continue pour toute valeur de x comprise entre a et 6, devienne infinie pour :r = 6. Dans quel cas devra-t-on attribuer un sens au symbole précédent? Pour répondre à cetle question, envisageons l'intégrale
f(x)dx.
la limite supérieure x étant comprise entre a et 6 : elle a un sens parfaitement déterminé. Si, x tendant vers 6, cette fonction de x a une limite, celle-ci sera par dé/initionh valeurde l'intégrale (6). Un exemple simple montre qu^une pareille limite peut exister. Soil en efl'et
k étant positif; on aura
' dx (b — ay-^' __ (b—xy-^- {b — x)^~ ^-^k~ i-^k
Si A* <; I, le second membre tend vers une limite, et l'on pourra intégrer /(x) entre les limites a et b. Si au contraire A\> i, l'intégrale n'aura pas de limite pour a;= b. Pour fixer les idées nous supposerons dans la suite a<Cb.
21 . // n existe pas de règle générale permettant de reconnaître dans quels cas l'intégrale aura une limite. On peut trouver des règles d'une application de plus en plus étendue, mais on ne saurait indiquer une règle générale, de même qiCon ne peut indiquer un théorème applicable à toutes les séries, pour décider de leur convergence. Ici encore, comme dans la théorie des séries, on comparera l'intégrale à étudier à une autre que l'on sait avoir une limite.
Nous avons donné tout à l'heure un exemple simple; considérons maintenant un cas plus compliqué en supposant que la fonction f{x) puisse de a et 6 être mise sous la forme
fix):
oix)
çp(^) restant finie dans le voisinage de b et pour ^ = i (sans avoir d'ailleurs nécessairement une valeur déterminée pour x = fe). Je dis que, si k est inférieur à l'unité, V intégrale (6) aura un sens déterminé.
Prenons une valeur a entre a et 6; nous aurons, si x est compris entre a et i,
(7) f f{^)dx^ f f{x)dx-^ f f{x)dx;
Ja *^a *^(X
la seconde intégrale pourra s'écrire
Ç est compris entre a et.r (§3). Par hypothèse (p(Ç) est inférieure en valeur absolue à une quantité fixe M. Le second terme du second membre, dans (7), est donc inférieur en valeur absolue à
lA — ^^^jT Or, étant donné un nombre positifs aussi petit qu'on
voudra, on peut prendre a suffisamment voisin de b pour satisfaire à l'inégalité
. — ^^ <^ ff •
a étant ainsi choisi, l'intégrale
