f f{x)dx
quand x varie entre a et i, sera comprise entre ,A-f- s et A — e, si nous posons
A= r f{x)dx.
Nous donnant alors un nombre e' inférieur à e, nous choisissons a' entre a et 6, de telle sorte que
Quand x variera enlre a' et 6, l'intégrale I restera comprise, nécessairement, d'une part dans l'intervalle (A-|- e, A — s) considéré plus haut, et aussi dans l'intervalle (A'-f-s', A' — s'), en posant
A'= r f{x)dx.
Ces deux intervalles ont nécessairement une partie commune plus petite que le premier d'entre eux, puisque A' est compris dans l'intervalle (A — e, A+e) et que €'<£. Choisissant alors une succession de nombres e décroissant et tendant vers zéro, nous aurons, en considérant successivement ces parties communes, une suite d'intervalles tous compris les uns dans les autres et tendant vers zéro. Leurs extrémités tendent donc vers un point limite, et par suite les intégrales A, A', . . . ont une valeur limite : ce sera la valeur de l'intégrale I pour x = 6. Le théorème est donc démontré,
A ce théorème joignons une proposition en quelque sorte inverse et qui fait connaître un cas où l'intégrale n'aura pas de limite.
Si l'on peut mettre f{x) sous la forme
•'^ ^ {b — xf
k étant supérieur à l'unité, et '-oi^x) restant, dans le voisinage de 6, supérieur à une quantité positive M, ou inférieur à une quantité
négative — M, M étant différent de zéro, r intégrale prise de a à b n^ aura pas de sens,
La démonstration est immédiate, car on aura, en désignant par a une valeur suffisamment voisine de 6,
la quantité entre crochets augmente indéfiniment quand x tend vers 6, puisque A" est plus grand que j ; d'autre part, <p(Ç) est supérieur à M en valeur absolue. Donc l'intégrale grandira sans limite.
22. Nous avons supposé que la fonction devenait infinie pour une limite de Tinlégrale; si elle devient infinie pour une valeur c comprise entre a et i, on partagera l'intégrale définie en deux autres. Chacune des intégrales
J f[x)dx et y/(^)
dx
devra avoir un sens, et l'intégrale prise de a à 6 sera, par définition, Ja somme des deux intégrales précédentes.
Ajoutons une remarque importante. Siy(a:), discontinue pour X = c, est la dérivée d'une fonction F(^) continue pour celte valeur et ayant une seule détermination, on aura
Ç /(x)dx=F(c)^F(a),
puisque cette intégrale est la limite F(f — e) — F(a;) quand la quantité positive e tend vers zéro. On aura pareillement
j /(x)dr = F{b)-F(c), et enfin
23. Considérons maintenant le cas où Tune des limites de l'inlégrale, la limite supérieure, par exemple, devient infinie. Soit
toujours l'inU^grale
f{x) étant une fonction continue pour toute valeur finie de x supérieure à a. Si, lorsque x grandit indéfiniment, les valeurs successives de cette intégrale tendent vers une limite, on la représentera par le symbole
/ f{x)dx.
Un exemple simple nous est fourni par/(^) = — • On a (nous supposons a]> o)
Ht
Si n > I , le premier terme devient nul pour a: =00, et l'intégrale a une limite. Si au contraire /i<! ï> l'intégrale n'aura pas de limite; il en sera de même pour /i = i, car l'intégration donnerait alors un logarithme.
Ici, comme plus haut, la comparaison de f{x) à une fonction pour laquelle on sait comment se comporte l'intégrale quand x grandit indéfiniment conduit à une règle qui pourra quelquefois permettre de décider s'il y a ou non une limite. Nous pouvons être bref après les explications données (§ 21); à l'aide de raisonnements analogues, on démontrera les deux théorèmes suivants :
Si, pour x suffisamment grand, f{x) peut se mettre sous la
forme ■ J > ?{^) f'^stant en valeur absolue inférieur à une
quantité fixe, et n étant supérieur à l'unité, l'intégrale I aura une limite pour X ^=co. Au contraire, sif{x)peut se mettre sous la forme précédente^ ?(-^) étant, à partir d'une valeur de x, toujours supérieur à une quantité -}- M ou inférieur à une quantité — M (M n'étant pas nul) et n étant inférieur ou égal à l'unité, V intégrale n'aura pas de limite,
24. Nous aurons souvent à appliquer les théorèmes des §§21 et 23 : quand la fonction sous le signe d'intégration est algébrique,
iHs permettent toujours de décider si l'intégrale considérée a ou non une limite. Ainsi, étant donnée une fraction rationnelle irré-
doctible {,)' !> l'intégrale
angcnenlera indéfiniment, quand a; tendra vers une racine deF(:r). Soit en effet b une racine de F(^) ; la fraction rationnelle pourra, dans le voisinage de è, se mettre sous la forme
o(x) {ù — xy^'
^{x) étant fini et différant de zéro pour x = b, et n représentant un entier positif au moins égal à l'unité. Prenons au contraire
r'P(x)dx J x/rTx)
P et R désignant deux polynômes. Quand x tend vers une racine simple b du polynôme R(a:), on peut, dans le voisinage de ^ = è,
écrire
\/^î^) {b-xy
ç( x) restant fini pour x =^b. L'exposant Ar (§ 21 ) est ici égal à ^ : rintégrale aura donc un sens.
Voici encore une remarque importante, relative au cas où la limite supérieure augmente indéfiniment. Quand l'intégrale la une limite, f{x) a nécessairement zéro pour limite lorsque x croît indéfiniment, si toute/ois elle a une limite. En effet, si/(^) tendait vers une limite M^o, cette fonction serait, à partir d'une certaine valeur a, supérieure à un nombre fixe M| ; par suite,
\f/{x)dx >M, r cfe= Mi(:r — ûT),
et l'intégrale grandirait indéfiniment avec x.
Il n'est d'ailleurs pas nécessaire que y( a:) tende vers une limite, quand jc augmente indéfiniment, pour que l'intégrale ait un sens.
C'est ce que monlre Tinlégrale suivante, célèbre dans la théorie de la diffraction de la lumière :
sinx^ dxj
Cette intégrale a un sens, quoique sinx'^ n'ait aucune limite pour ^ = 00. Nous l'établirons en construisant la courbe représentée par Téqualion
y — sinic*,
qui est formée d'arcs situés alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe O^. Nous montrerons que l'intégrale proposée a une limite, en établissant que la somme algébrique des aires des segmenls limités par ces arcs et Taxe Ox tend vers une limite. Ces aires sont alternativement positives et négatives puisqu'elles sont alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe des x. Nous avons donc une série alternée : il suffit de faire voir que les aires vont en décroissant en valeur absolue et tendent vers zéro. Or le ^ième ç^ jç ^^j jyèine segment sont respectivement représentés par
f\nx^ dx»
/ ^iTix"^ dx et /
Cette seconde intégrale est, en valeur absolue, moindre que la première : car, si Ton pose x^^=^ti-\- x^^^ elle devient
sinar* --^^-rrrrr dx.
D'ailleurs le segment de rang n tend vers zéro, car il est moindre que l'expression
qui tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.
Comme autre exemple d'une intégrale où la considération d'une série d'aires joue un rôle utile dans la démonstration de l'existence de la limite, citons encore
INTÉGRALES DÉFINIES. Sq
Des raisoDnemenls analogues à ceux que nous venons d'emplojer perniellent sans peine d'établir que cette intégrale a un sens.
2S. Cauchy a donné une règle élégante de convergence de certaines séries, qui se rattache aux intégrales dans lesquelles la limite supérieure devient iqfinie.
Soity(a:) une fonction, positive à partir d'une certaine valeur de a:, continuellement décroissante et tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment. La courbe y=/(a;) admet l'axe des x pour asymptote, et il pourra arriver que l'intégrale
f(x)dx
ait ou non un sens. Si, alors, on considère la série
celte série sera convergente ou divergente, suivant que l'intégra/e précédente aura ou non un sens.
Si, en effet, l'intégrale / /(x)dx a une limite pour ^ := oo,
comme la somme des rectangles intérieurs construits avec la base un et les hauteurs respectives /(2), /(3), . . ., /(ai) est moindre que l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et la droite j: = i, on est assuré que la somme
reste inférieure à un nombre fixe, et la série est par suite convergente. On raisonnera de la même manière dans le second cas, mais en prenant les rectangles extérieurs à la courbe : la somme
/(i)+/(a) +...+/( Al)
est alors supérieure à une aire qui augmente indéfiniment; la série sera donc divergente.
Soit, comme exemple.
4o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
on devra considérer l'intégrale
elle tend vers une limite pour x = (x> quand /> > i ; la série dont
le terme général est — est alors convergente. Elle divergera au
contraire si/?£i.
Prenons encore la série étudiée par Abel (Œuvres complètes, t- ï> P- 399) :
aluga '*" /ilog/i '"' elle est divergente, car l'intégrale
augmente indéfiniment avec x. Abel cite cette série comme exemple d'une série divergente à termes positifs,
ï^o + "i -•-•••-+- Wi H- ••• 1
pour laquelle le produit nun a zéro pour limite.
En restant dans le même ordre d'idées, on pourra souvent déterminer la limite d'expressions de la forme
Sg=/^n)-H/(/i-Hi)+...-h/(/i-f-/>),
les entiers n et p augmentant indéfiniment, la fonction /(x) satisfaisant d'ailleurs aux mêmes conditions que plus haut. La considération des rectangles intérieurs et extérieurs inscrits dans la courbe conduit de suite aux inégalités
/(/i)-h...-+-/(/i-h/5-i)> I f{x)dx,
f f{x)dx'.
donc
f /{a;)dx-^/(n)>SP> / /(x) dx ^f(n -^- p),
INTÉGRALES DÉFfNlES 4'
et par sulle la recherche de la limite de S^ reviendra à celle de
f{x)dx.
Soit, par exemple, /(ir) = , on aura
ss=i+ '
/i Ai-h I n -hp
et comme
ir^M'-^y
oa aura, p et n augmentant indéfiniment de telle sorte que
lim ^ z= oL.
limSj= log(n- a); en particulier, si/? = /i, nous voyons que la limite de
n n-hi
pour n = 00 est égale à log 2.
