VII. — DifFérentiation sous le signe d'intégration
26- On rencontrera souvent, dans les applications, des fonctions F (a) d'une variable a, représenlées par des intégrales définies
/ A^j ^)dx,
a et b étant, soit des constantes, soit des fonctions de a.
Cherchons comment on pourra former la dérivée de celte expression par rapport à a.
Nous supposerons d'abord que a et b ne dépendent pas de a.
On a alors
F(a-^Aa)-F(a)=y [f{x, ai -^ \a) -f(x, a)]dx;
et, par siifte,
F(g-4-Ag)-E(a) /-V(ar, a-4-Ag)-/(^,a)
Aa "./ Aa
Cela posé, nous supposerons d'abord que la fonclion/(:r, a) ait une déi'ivéc partielle /"«(x, a) par rapport à a, d'où l'on conclut
F(a-^Aa) — F(a)
Aa
= f /a(^» a4-eAa)rfx, o< 0 <i.
Nous supposerons ensuite la fonction/4(a;, a) telle que, x étant quelconque entre a et b, on puisse déterminer une quantité positive 7\ telle que pour
|Aa|<7j, on ait
l/;(a7, a4-Aa)-(/«(x, a)|<s,
e étant une quantité positive donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra. Dans ces conditions, on aura évidemment
F'(«)= f A{x,a)dx,
Ainsi donc, pour former F' (a), il suffira de différentier sous le signe somme f{x, a) par rapport à ol,
La condition requise se trouvera vérifiée si la fonclion/(:r, a) a non seulement une dérivée première, mais aussi une dérivée seconde par rapport à a; la formule de Taylor donne en effet
/'«(;f, a -t- Aa) -/«(^r, a ) = Aa/;,(:r, a -h 0 Aa);
donc, en supposant que /^i est finie, on peut satisfaire à l'inégalité demandée.
Un second cas à signaler est celui où la fonction /i{x, a) des deux variables x et a sera une fonction continue de ces deux variables par rapport à a: et a, quand x variera entre a et b, et a dans un certain intervalle (a\ b'); c'est ce qui sera démontré plus tard. Ce point nous sera en effet utile quand nous établirons la notion d'intégrale double ; nous nous contenterons d'énoncer cette propriété d'une fonction continue de deux variables qui sera établie au chapitre IV (§ 2).
Nous avons, dans ce qui précède, supposé que a et b élaient des constantes; supposons-les maintenant fonctions de a. On ramènera ce cas au précédent au moyen d'un changement de variables qui rendra constantes les limites de Tinlégrale. Posons à cet effet
X =^ {b — a)t -^^ a\ Pintégrale devient
F(a)= f Ax,^){b-a)dt.
Jq
En appliquant la règle précédente, on a
•"<->=jC's>«-")'"-jr'/<'.''>(S-E)""
revenant à la variable x^ nous aurons
[db ^da dOL d%
da
^ dOL
cte,
ou encore
db da
les deux dernières intégrations s'effectuent immédiatement, et Ton arrive enfin à la formule
qui exprime la règle de différenliation dans le cas général.
27. 1-es règles précédentes impliquent essentiellement que la
fonclion sous le signe d'intégration reste finie entre les limites. Ainsi, considérons Tintégrale définie
Jr* dx 0 Jxix —
