X{X — OL
qui a une valeur déterminée, mais dont Télément devient infini pour X = o et pour ce = ol.
On ne peut appliquer à cette expression la règle de difTérentiation par rapport à a : en rappliquant, on obtient une difTérence, n^ayant aucun sens, de deux termes infinis.
Si Pune des limites de Tinlégrale devient infinie, l'application des règles précédentes peut encore conduire à des résultats illusoires. Considérons, par exemple, l'intégrale
OÙ nous supposerons a>o; le changement de variable 0LX=y ramène celte intégrale à la suivante
sin V ,
qui, nous Tavons dit, a un sens parfaitement déterminé. L'intégrale (8) ne dépend donc pas de a; mais, si nous la différentions par rapport à a, en appliquant la règle, nous trouvons
cosaa-^jr.
intégrale qui n'a aucun sens.
Ce résultat n'a rien qui doive étonner. Les hypothèses faites, en démontrant la règle de la différentialion sous le signe d'intégration, reviennent à supposer qu'on peut prendre Aa assez pelit pour que le quotient
Aa
difTère de/i(jc, a) de moins de s, et cela pour toute valeur de x comprise dans le champ d'intégration. Ici, il faudrait donc pouvoir
déterminer Aa de façon à avoir sin ( a -h àoL )x — sin ax
ar.Aa
= cosa:r -f- Ti, |r,|<!
pour toute valeur positive de x ; or, pour x très grand, le premier ihembre est très petit, tandis que le second est indéterminé.
Ainsi quand la /onction ou les limites deviennent infinies, on ne devra pas appliquer 5a/i5/>/eca«/£0/î5 la règle de différentiation. Voici, du reste, une remarque générale relative au cas où l'une des limites devient infinie.
Considérons l'intégrale
a étant, pour simplifier, une constante. Supposons réalisées les deux conditions suivantes : i° à partir d'une certaine valeur de .r, y(x, a) et la dérivée /"«(a:, a) sont en valeur absolue moindres
que '—^j M étant une constante posilive, n un exposant supérieur
à l'unité; 2^ étant donné un nombre e aussi petit que Ton voudra, on peut, pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle (a, /) fini mais quelconque, trouver une quantité h telle que, pour toute valeur A,, de module moindre que /t, on ait
|/i(ar, a 4- Al) — /i(a7, a)|< s.
Nous allons établir qu'on pourra, dans ces conditions, appliquer à la fonction V(a) la règle de différentiation démontrée plus
haut. Je remarque d'abord que les deux intégrales / /(ic, a) dx et / fki^t a) d^ oïït un sens bien déterminé. Or ou a
= / /a('^, a-^6Aa)û?a7 OU, en la partageant en deux parties,
— = / /i(a:, a-+-6Aa)é/x-H- / j'a,{x,a -\-^L%) dx. On peut, en vertu des hypothèses faites, déterminer / de façon
AV Aa
que Tinlégrale
r" M dx
Ji ^" soit inférieure à s. On aura donc
AV r' ,
-Tr= / /a(x,a-h6Aa)rfxH-r., |Tj<e.
On peut en outre écrire, d'après la seconde condition,
/ /a(^, aH-6Aa)fl^J7 = / /i(ar, a) cte h- V, |Tr/|<E,
si Aa est suffisamment petit. Donc
