AV

or / /^{x^oi) dx diffère de / /a(^, 7.)dx de moins de e. Par

AV suite, Ja différence entre ■— et celte dernière intégrale n'atteint

pas 3e, si Aa est suffisamment petit; ce qui nous donne enfin

,-- = / /a,(x,a)dx

qui est la règle de différentiation précédemment établie.

28. On vérifiera facilement que les conditions précédentes sont remplies par Tinlégrale

^(a)= / ~ dx (a> o).

De plus, celte intégrale est une fonction continue de a, même pour a tendant vers zéro par valeurs positives. Pour le voir nettement, nous procéderons comme au § 2i : on construit la courbe représentée par Téqualion

r—^'^9,\nx

et Ton considère l'intégrale comme une série alternée. Si Ton prend

seulemenl dans cette série un nombre linnîté n de termes, le reste est moindre en valeur absolue que le premier terme négligé. Or, pour n suffisamment grand et a^o, ce terme est aussi petit qu'on veut; d'autre part, la suite limitée de termes est une fonction évidemment continue de a, même pour a = o. Par conséquent, l'intégrale V(a) est une fonction continue dea(a>o) même pour a = o. Ceci posé, pour calculer V(a), nous calculerons d'abord Tinlégrale

— — = — I e-^^ sxxïx dx

qui s'obtient immédiatement : en intégrant successivement deux fois par parties, il vient

puis

Xe-«* cosa; dx = / g-a^ sina? dx.

Les deux relations précédentes donnent

do

ne

di ''

arc

tangi:

nous prenons Parc tang compris entre — 7 et n — ; la constante

d'intégration est nulle, puisque V tend vers zéro quand a grandit

indéûniment.

Celle formule, établie pour a > o, subsiste encore pour a = o, d'après ce que nous avons dit de la continuité de la fonction V. On trouve ainsi l'intégrale importante

VIII. — Intégrales d'une fonction complexe d'une variable réelle.

29. JNous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions réelles de variables réelles. Ce n'est que dans le second Volume que nous

nous occuperons du cas où la variable est complexe; mais l'extension de la notion d'intégrale définie au cas d'une fonction complexe d'une variable réelle se fait immédiatement.

On entend par fonction complexe F(:r) de la variable réelle x^ une expression de la forme

F(:c;=/(a7)H-t>(ar).

On aura, par définition^

Jf Y(^x)dx^r= I f{x)dx-^i I (^(x)dx.

Il n'j a donc pas de théorie particulière à ces intégrales, qui se ramènent aux intégrales déjà étudiées. M. Darboux {Journal de Mathématiques, 1876) a donné une formule intéressante analogue à celle que nous avons rencontrée quand F(a:) est une fonction réelle : dans ce dernier cas, si ^{x) désigne une fonction positive de a à 6, on a

f F(x)^(x)dx = Fa) f ^(x)dx, a<^<b.

M. Darboux a montré comment on devait modifier cette formule dans le cas d'une fonction complexe. Le résultat auquel il est parvenu peut s'établir comme il suit. Soit

1= r ¥(^x)^{x)dj:= f f{x)^{x)dx~^i f o{x)^{x)dx,

^(j:) étant positif entre a et h.

On aura *

modI< / //«(^)-f-cf«{a:)4;(ar)^ = v//«(î)-H?*(0 / ^(.^)dx,

(nous écrivons d'abord que le module d'une somme est plus petit que la somme des modules, et nous appliquons ensuite la formule relative aux fonctions réelles).

On a donc

ri»

modl = ev//H$)-r-?*(0 / ^{x)dx, o<e<i,

OU

modI = emodF(J) f ^(x)dx, et par suite, si a désigne Targumentcle I et ^ l'argument de F(Ç),

Si donc nous posons

il vient Gnalement

T = XF(Î) f ^{x)dx,

A étant une quantité dont le module est au plus égal à Funité. Le cas où la fonction F(^) est complexe se distingue du cas où elle est réelle par la présence de ce facteur X.

30. La démonstration donnée pour la formule de Taylor, au moyen de l'intégration par parties, généralisée, s'applique sans aucune modification à cette fonction complexe F(;r), et l'on a encore

F(ar,> ^ F(a?o)-H(^, — a?o)F'(a7o) H-. . .

^(a^i — a^oj^pt^) 1 ç 'Y^a^^)(x)(x^ — xYdx.

••il

Le reste pourra, en appliquant la formule de M. Darboux, se mettre sous la forme

^^^ i.2...(nH-i)

f étant compris entre Xq et ;ri, et X désignant une quantité complexe de module au plus égal à l'unité.

5o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.