Considérons donc l'intégrale indéfinie
dx.
On sait, d'après la théorie de la décomposition des fractions rationnelles, que toute fraction rationnelle peut se mettre sous la
^ INTÉGRALES INDÉFINIES. 5l
forme d'un polynôme en x, plus une suite de termes de la forme
2Att (a? — a)**
les quantités a étant les racines de/(x), et les Aa désignant des constantes. Or l'intégrale d'un polynôme est un polynôme, puisque
07"» dx =
D'autre part, on a
dnr (x — aY
{x—a)''- — a-hi
et
—-^ = log(a:-a).
Toute la théorie est contenue dans ces remarques évidentes. Mais approfondissons davantage la question.
Nous allons nous préoccuper de pousser la réduction de l'intégrale le plus loin possible, en ne faisant que les opérations élémentaires de l'Algèbre, c'est-à-dire addition, multiplication et division de polynômes. Rappelons d'abord que sî/(^*) a été décomposé en un produit ^\{x)x^2{^)X' "X^n{x) de polynômes o premiers entre eux, on aura
Supposons, en particulier, qu'ayant appliqué la théorie des racines égales nous ayons trouvé
les X désignant des polynômes dont toutes les racines sont simples : Téquation X| = o fait connaître toutes les racines simples de /, l'équation Xa^ o les racines doubles et ainsi de suite. On sait qu'on peut trouver les polynômes X par de simples divisions. Nous
aurons donc
¥(x) Ft(a7) F(x) F„(x)
J\x)~ X, ■" Xi "*--"^ XS •
Nous sommes ainsi, d'une manière générale, ramené à chercher
rintégrale
(p étant un polynôme quelconque, et X un polynôme qui n'a que des racines simples.
Supposons que l'entier positif a soit supérieur à l'unité; je dis que nous pouvons ramener la recherche de cette intégrale à une autre de même forme, mais où a sera remplacé par a — i .
Montrons en effet qu'on peut déterminer un polynôme P(^) tel que la différence
X^-^Lx^J «o't de la forme -^^
Il faut et il suffit pour cela que
cp(x)-*-(a — i)P(x)X',
X' désignant la dérivée de X, soit divisible par X. Supposons que X soit de degré m, on pourra prendre P(x) de degré m — i, de telle sorte que l'expression précédente s'annule pour les m racines de X, ce qui est possible puisque, pour ces racines, X' est différent de zéro. On aura donc à déterminer un polynôme de degré m — i qui prend pour m valeurs de la variable des grandeurs données. Mais, en présentant sous cette forme la recherche de P(^), il sçmble qu'il faille résoudre l'équation X = o; en réalité, l'existence deP(^) étant certaine d'après ce qui précède, il suffira de procéder en faisant la division, ce qui donnera des équations du premier degré pour déterminer les coefficients de P(a?).
Ainsi de l'intégrale (i) nous passerons, en retranchant ^t^> à l'intégrale
Ç'ii!^dx
et ainsi de suite, de proche en proche, jusqu'à
pour laquelle nous ne pouvons plus évidemment continuer la ré-
duction. Arrivé à ce point, il est nécessaire, pour achever Pintégration, de connaître les racines de Téquation X = o.
3. Supposons que les coefficients de la fraction rationnelle soient réels et que le dénominateur X ait été résolu : portons particulièrement notre attention sur un couple de racines imaginaires conjuguées. On sait que l'on aura, pour ce couple de racines, a -\- bi^ a — 6/, la somme des termes simples
Aar-f-B Ai^c-t-Bi A„i tr -4- B^-i
les A et B étant des constantes. D'après ce qui vient d'être dit, toutes ces intégrales se ramèneront à une intégrale de même forme que la dernière, et qu'on trouvera immédiatement en l'écrivant
sous la forme
2lV1(a7 — a^ — !iN6 (a: — a)*-T-6>
M et N étant deux nouvelles constantes. Or on aura
rrû^a? = M log[(jc— a)'4- b^\.
comme on le vérifie par la diflférentiation ; d'autre part,
donc finalement
ûte = 2lN arc tang — -. —
- . X\ — d - T a?o — CL
■ 2N arc tang — y h 2N arc tang — y — ,
formule qui ne présentera aucune ambiguïté, si l'on ajoute que les ares correspondant aux tangentes indiquées sont compris entre
- el -f- -• 2 2
Nous avons écrit plus haut
r dx J X — a
ce résultat n'a, jusqu'ici, de sens pour nous que si a est réeL
' dx -j:-=log(x-«);
Soit maintenant a = a -t- p/ : nous aurons
/dx __ Ç (x — a^dx Ç ^idx
