II. — Intégrales hyperelliptiques

4. Les intégrales les plus importantes qui aient donné lieu à une théorie complète sont les intégrales de la forme

(a) j¥{x,y)dx,

F étant une fonction rationnelle de x et y, et y une fonction algébrique quelconque de x^ c'est-à-dire une fonction liée à x par la

relation

f(Xyy) = o,

où f est un polj^nome. Les plus simples de ces intégrales, après celles où y est une fonction rationnelle de x, sont celles où y esl

liée à X par la relation

JK«=R(:r),

R(^) étant un polynôme que nous pouvons supposer n'avoir que des racines simples. De telles intégrales sont appelées hyperelliptiques.

Ce polynôme peut être de degré pair ou impair; les deux cas se ramènent l'un à l'autre. Supposons le polynôme de degré pair 2/>; posons, en désignant par a une racine de R (^\

l'intégrale se trouvera ramenée à une intégrale de même forme, mais où le rarf/ca/ portera seulement sur un polynôme de degré 2/? — I ; on aura en effet

R(ar) =

Ri {z) étant un polynôme de degré ip — i .

Inversement, si l'on a un polynôme R(^) de degré impair 7.p — i ,

il suffira de poser

pour être ramené au cas d'un polynôme de degré 2/?.

Ceci dit, considérons l'intégrale (2) : la fraction rationnelle F {x-iy) peut se mettre sous la forme

Via: y)- ^-^^^ ^

les M et N étant des polynômes en x. On élimine pour cela toutes les puissances de y autres que la première en remplaçant y 2» p^^ R« etj'2«+* parj^R".

Si nous multiplions les deux termes de F par M| — N<y, nous aurons

P et Q étant des fractions rationnelles de a: ; ou encore, en remplaçant j' par -- ^ — , nous aurons, d'une manière générale,

A et B étant des fractions rationnelles quelconques de x» En formant rintégrale (2) nous avons d'abord

^A dx,

intégrale d'une fraction rationnelle déjà étudiée, etrinlégrale, dont nous devons maintenant nous occuper,

dx.