Prenons d*abord les intégrales du premier type

La discussion se fera de la même manière que R soit de degré pair ou impair; il est néanmoins indispensable de faire une hypothèse particulière. Nous supposerons dans la suite que R {x) est de degré 2/7 -l-i. Sans être essentiel au fond, le choix d*un polynôme de degré impair est préférable pour le développement de la théorie; nous ne nous en rendons pas encore bien compte en ce moment, mais nous le verrons plus tard dans Fétude plus complète de ces intégrales.

Soit m le degré de/(.r j, nous allons montrer que ce degré peut

être abaissé au degré ip — i. Supposons donc m supérieur à ce

nombre et posons

m ~ 2p -T-X (X jo).

Je dis que de l'expression - on peut retrancher la dérivée

de Cx^\/li{x), G étant choisi de telle sorte que le numérateur de la différence soit de degré m — i. On a en effet

, Xa7X-iR(ar) -h -iF^RVa?)

le degré du numérateur est '2 p -\- X, nous pouvons donc choisir C de telle sorte que, dans la différence

/(ar) -CrXa:>-»R(ar)-h ix>^R'(a?) 1 ,

le coefficient de^'" soit nul. Par une série de soustractions successives nous ramènerons donc noire intégrale à une partie toute intégrée et à une intégrale

mais où celte fois/i {x) sera un polynôme au plus de degré ip — i , car la réduction pourra se faire pour la dernière fois quand on aura X = o.

JVous obtenons donc ip intégrales de la forme

xV-dx

En général, ces intégrales sont des transcendantes noui^etles et distinctes les unes des autres, qui ne sont pas susceptibles de s'exprimer à l'aîde des fonctions introduites dans les éléments. On doit étudier sur elles-mêmes leurs propriétés extrêmement intéressantes; mais nous ne pourrons qu'ultérieurement entreprendre cette étude. Montrons seulement qu'on peut les partager en deux espèces : les intégrales de Ia première espèce sont celles qui resteront finies quand x augmentera indéfiniment, les autres seront dites de seconde espèce. Nous pouvons ici appliquer le théorème

xV" du § 21 (Ghap. I) : la fonction est comparable pour x très

grand à

Si donc

- — |A>I, ou [L<p —

l'intégrale sera de première espèce.

On aura donc/? intégrales de première espèce, c'est-à-dire restant finies pour ^ = oc (pour [x = o, i , 2, ...,/> — i); les autres intégrales seront de seconde espèce.

Rappelons d'ailleurs que toutes ces intégrales restent finies quand x tend vers une racine de R.(^) = o.