Passons maintenant aux intégrales du second type
r o(x)dx J {X"a)^^R(x)
Deux cas sont à distinguer, suivant que a est ou non racine du polynôme R{x), Je me place d'abord dans le second cas. Je vais, en supposant a>i, retrancher de l'intégrale une expression de Ja for no e
de telle sorte que la diflférenee soit une intégrale de la forme initiale mais où a sera remplacé par cl — i . On a, C désignant une constante,
Dans la difTérence
le numérateur sera divisible par x — a si l'on a
égalité qui détermine C, puisque R(«) n'est pas nul et que a esl supposé plus grand que Funité. Ainsi, par la soustraction précédente, nous sommes conduit à une intégrale de la forme
^x{x)dx
(a: — a)a-iy/R(^)
cpi étant toujours un polj^nome. Nous pourrons continuer ainsi cette réduction jusqu'à ce que nous arrivions à une intégrale de la forme (3) où l'on ait a = i. D'ailleurs, en divisant <p(^) parx — a, cette dernière intégrale se ramènera aux intégrales du paragraphe précédent et à l'unique intégrale
dx
Dans le cas où R(a)^^o, les considérations précédentes ne s'appliquent plus; mais, avec une petite modification dans les raisonnements, nous allons pouvoir effectuer la réduction aux seules intégrales du premier type. Reprenons donc l'intégrale (3) en supposant que a soit racine de R(^). Nous formons la différence
INTÉGRALES INDÉFINIES. Og
le second terme peut s'écrire
en posant
^ vT — a
Or a est racine simple de R(^), donc R<(a) = R'(«) ^ o, et par suite on peut déterminer C de manière que la différence (4 ) soit de la forme
Il suffit pour cela que
tf(a) — c(--—ix\R'{a)--o.
Le coefficient de C est difl'érent de zéro, même pour a -— i : on pourra donc effectuer de proche en proche la réduction jusqu'à faire disparaître toute puissance de x — a au dénominateur et finalement il ne restera, dans ce cas, que des intégrales du premier lype.
En résumé, le second type se ramène au premier et à des intégrales de la forme
r dx
J (a:-a)v/HÛ')' la constante a n'étant pas racine de R(^) =^ o.
7. Nous avons fait les réductions précédentes en supposant le poljnome R(^) de degré impair ip-\-\\ celte hypothèse n'avait aucun intérêt pour la réduction faite en dernier lieu, qui en estévidemnient indépendante. Il n'en est pas de même pour celle qui concerne les intégrales de la forme
J /Kôr
^(x) dx
te"'
Les raisonnements peuvent néanmoins être faits avec peu de modifications. Il suffira d'énoncer le résultat :
Si Je polynôme R(^) est de degré 2/?, toutes ces intégrales se
6o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
ramèneront aux. intégrales
x^dx
où [JL devra prendre les valeurs o, i , 2, . . . , 9.)o — 2 ; il y a donc, dans ce cas, ip — i intégrales du premier type.
8. Donnons quelques exemples simples. Je supposerai d'abord le polynôme R(^) du second degré. D'après ce qui précède (§ 7), toutes les intégrales de la forme
f¥{x, v^AiFî-r- B:c +"G) dx.
F désignant une fonction rationnelle de x et de y/A^^H- Bx -j- C, se ramèneront aux deux intégrales
/dx r dx
)/kx^-^ Bar-f-G J (x — a)v/Aa:*-hBa7-hG'
a désignant une constante. Ces deux intégrales se trouvent immédiatement; elles se ramènent d'abord Tune à l'autre, car il suffit
de poser dans la seconde x — « = - pour la ramener à la forme
de la première. Quant à celle-ci, deux cas seront à distinguer suivant le signe de A. Selon que A sera positif ou négatif, nous aurons, par un changement linéaire de variable, l'une ou l'autre
forme
/dx r dx
/ar* -+- a J v^a* — x^
qui sont respectivement, comme le montre la différent! a tion,
log(a7 -f- v/a?î-+- a) et arcsin-.
Passons au cas où R(j:) serait un polynôme du troisième degré ; les intégrales du premier type sont alors au nombre de deux :
/• dx r X dx ^
l'intégrale est dite alors une intégrale elliptique.
INTÉGRALES INDÉFINIES. 6l
Le cas où R(^) est un polynôme du quatrième degré peut se ramener, d'après ce que nous avons dit d'une manière générale, au cas où le polynôme est du troisième degré. On a pris longtemps, comme polynôme normal, le polynôme du quatrième degré; on tend maintenant à faire la théorie des intégrales elliptiques et des fonctions qui s'en déduisent en prenant comme polynôme normal le polynôme du troisième degré. Indiquons cependant, relativement aux polynômes du quatrième degré, une transformation qui a joué un rôle très important : elle consiste en ce qu'on peut supposer seulement des termes de degré pair dans le polynôme. Employons en effet la transformation
p désignant une constante, ce qui revient à faire la substitution X = p On a alors
Nous allons déterminer p de façon que la somme de deux racines du polynôme transformé en y soit égale à la somme des deux autres. Si nous désignons par a, 6, c, d les quatre racines de R(:r), les racines de Ri(^) seront
p — a p — b p — c p — d Écrivons, par exemple,
équation qui est du second degré en p. Si l'on prend pour/? une de ses racines, le polynôme Ri(j') sera de la forme
le coefficient de y étant le même dans les deux facteurs. 11 suffira alors de poser j^ -h - = ^ pour avoir le polynôme bicarré
On peut donc supposer que le polynôme R( -f) est bicarré, soit
Les intégrales de la première catégorie sont alors
/{fx r T dx r x^ dx
La seconde de ces intégrales se ramène aux fonctions élémentaires : il suffit en effet de poser x^ —-y pour la ramener à Tinté-
ijrale
dv
/ao7*-i-ai^-H a,
III. — Intégrales de différentielles algébriques ^ réduction des intégrales abéliennes.
9. Le cas général d'une intégrale de différentielle algébrique est une intégrale de la forme
¥{x,y)dx,
F étant une fonction rationnelle de x et y] y est liée à x par la
relation
/étant un polynôme irréductible en x et y, c'est-à-dire que la courbe algébrique représentée par cette équation est indécomposable. Nous allons faire sur l'intégrale précédente quelques réductions d'une nature purement algébrique; ce ne sera qu'après avoir étudié plus tard les principes de la Théorie des fonctions d'une variable complexe que nous pourrons pénétrer plus avant dans la théorie de ces intégrales, appelées intégrales abéliennes, du nom du géomètre norvégien Abel, qui a fait connaître à leur sujet un théorème d'une extrême importance.
Je supposerai la courbe /-: o de degré m; de plus, l'ensemble des termes homogènes de degré m dsLDS /(x^y) se compose de m facteurs linéaires distincts et aucun d'eux ne se réduit à ^ ou à y. En langage géométrique, ceci revient à dire que les m directions asymptotiques de la courbe / sont distinctes et ne sont pas parallèles aux axes. Cette supposition est ioujours permise, car on
peut commencer par faire sur la courbe une transformation horaographique ou une perspective qui la réalisera. Ceci dit, j'écrirai l'intégrale sous la forme
ce qui revient à poser
'^( JF, y) sera une fraction rationnelle de a: et r, soit
M et N étant des polynômes en x et y. Montrons d'abord qu'on
peut remplacer la fraction rationnelle -^ P^^r ^^^ autre dont le
dénominateur ne renferme que la variable x. Nous nous appuierons pour cela sur le théorème d'Algèbre suivant :
Étant donnés deux polynômes premiers entre eux, f{x^ y) et N(j:, j'), on peut trousser deux polynômes en x et en y, A et
B, tels que
A/ -4- BN =r. X,
XL éteint un polynôme en x.
Ce théorème se démontre comme la proposition analogue relative à deux polynômes ne renfermant qu'une seule variable. Soient
N = b^y -t- bx ^«-1 -h . . .
les deux polynômes ordonnés par rapport à ^ : les a et 6 sont des polynômes en x. Prenons le résultant X de ces deux polynômes en y. On peut le mettre sous la forme d'un déterminant bien connu d'ordre m -\- n
no
bi .
ào
64 INTfiGRELAS SIMPLES ET MULTIPLES.
Si l'on multiplie les éléments de la première colonne verticale par ym+n-i^ ceux de la seconde par yfnHi~2 ^i ainsi de suite, et qu'après les avoir ainsi multipliés on les ajoute à la dernière, celle-ci se trouvera remplacée par
En développant le déterminant, on a Tidentité X r. A/-f. BN,
A et B sont des poljnomes en x et y, et X ne dépend que de x.
On aura donc
M BM BM
'*' ~" N ~ BN "" X '
puisque y est définie par la relation/(^,^^)= o. La fraction i( a alors pour dénominateur X, qui ne dépend que de x^ et nous pouvons écrire ^intégrale (5) sous la forme
Nous obtenons ainsi, en décomposant la fraction =r en éléments simples, des intégrales des deux types
rVix.y)dx /"Q(a:, y)dx
J /; ' J (j,^a)^fy
P et Q étant des polynômes en x et y^ et ces deux formes rappellent celles que nous avons trouvées pour les intégrales hyperelliptiques.
lO. Nous allons montrer que dans les intégrales du premier type
rP(x.y)dx
on peut ramener le degré du polynôme P, qui est arbitrairCy à être au plus : im — 4-
Soit p le degré du polynôme P et supposons
Retranchons de Tintégrale (6) un polynôme homogène en x et y de degré p — m -\- 2 : soit X(a7, y). Ce polynôme \ peut évidemment s'écrire, en tenant compte de la relation /(^, jk) = o,
M^,y)=f^''^''.^''-^^dx,
fy Pouvons-nous choisir X de telle sorte que la différence
soit un polynôme de degré p — i ?
Désignons par P<(^, y) l'ensemble des termes homogènes de degré/? dans P(x,y), et ^(x,y) l'ensemble des termes homogènes de degré m dans f{x^y)\ l'expression (7) se réduira à un polynôme de degré p — i , si
(8) Pi(^,jK)-(x;cp;.-x;cpi)
est divisible par<p(a:,y) : car alors, ^{x^y) étant le quotient, il suffira de retrancher de (7) le produit ^{oc^ y)f[x^y) pour avoir un polynôme de degré p — i. Cette soustraction ne change d'ailleurs rien à l'expression (7), puisque fi^x^y) = o. Remplaçons
X^ par sa valeur
tirée du théorème d'Euler relatif aux fonctions homogènes : l'exprcssîon (8) deviendra
xP^ix, y) — {p — m H- 2)X(a7, ^)«p^H- mXyO
Elle sera divisible par ^{x,y) si le numérateur est divisible par© qui, par hypothèse, ne contient pas ^ en facteur. Nous avons donc à choisir X de telle sorte que
^Pi(^» ^) — (/> — '^ -+- 2) X(x, ^)cp;,
soit divisible par ©(j^, y), ce qui sera possible si le degré de X(x, y) est supérieur ou égal km — i, c'est-à-dire si
/? — m-+-2^/?i — I ou p^im — 3.
Le degré de V{x^y) se trouvera donc ainsi abaissé d'une unité, p. - I. 5
et l'on pourra continuer jusqu'à ce que ce degré atteigne 2 m — 4- Donc, en résumé, dans les intégrales du premier type
P(a7, v") dx
fy le polynôme P(^, y) peut être abaissé au degré 2 m — 4-
11. Avant de passer aux intégrales du second type, il nous faut faire quelques remarques préliminaires.
Soit x=.a une droite rencontrant la courbe /(^, y) en m points distincts, dont nous désignerons les coordonnées par j^i, J^2j •--lymy et admettons d'autre part qu'un polynôme <b{x^y) en X et y s'annule en ces m points : je dis que le quotient
en supposant x ei y liées par la relation /{x^y) = 0, peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y.
En effet, ^[x^ y) peut être ordonné suivant les puissances de X — a, et l'ensemble des termes ne dépendant pas de x sera un polynôme en y^ ?(^)î nous devons montrer que
peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y. Or ^{y) s'annule poury<,yaî • • "i ym- D'autre part, en ordonnant le polynôme/(a?, y) suivant les puissances de ;r — a, l'équalion /= o se met sous la forme
(r —ri )• • -(r — rm) H- (a? — a)/?i( J') -t- (x— a)»/7,( j^) -h . . . = o,
les/? désignant des polynômes en y\ donc
Lr-.yMy-y^).--^y-yn.) ^t, par suite, iM
se mettront sous la forme d'un polynôme en x cl y.
En second lieu, supposons que la droite x = a soit tangente à la courbe /, en un point simple, deux points de rencontre seulement élant confondus au point de contact, et les (m — 2) autres
points de rencontre étant distincts. Je suppose le polynôme ^ (^,^) tel que la courbe
soit rencontrée par la droite ^ = a en deux points confondus au même point que/*, et passe par les (m — 2) autres points de rencontre.
Je dis encore que
4>(ar, v)
en supposante: ety liées parlarelationy(^,y) =0, peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et en y. La démonstration sera analogue; l'expression se réduit à la forme (9). Or, en désignant par^i l'ordonnée correspondant à la racine double et par ^2? - • •> ym-% les ordonnées des (m — 2) autres points de rencontre, '^ (^) contiendra en facteur
d'autre part, Téquation /== o pourra se mettre sous la forme
(r— ^i)*(r-j^O-..Cr— j^/n-i)^-^i(j^)(^— «)-^y«Cr)(^-«)' ■+-••• =0,
les q étant des polynômes, et la démonstration s'achève comme plus haut.
i2. Revenons maintenant aux intégrales du second type .. r^{^.y)dT
Nous allons démontrer que :
On peut ramener, de proche en proche, 'cette intégrale à une intégrale analogue, mais dans laquelle le degré a est égal à l* unité.
En d'autres termes, on peut toujours abaisser d'une uniré le degré a, si a >> i .
Je suppose d'abord que la droite x = a rencontre la courbe J{x^y) = o en m points distincts.
Employons le même genre de considérations : nous retranche-
rons derinlégrale (io),enteDant compte deTéquation /'(x,^) = o, UDC expression de la forme
^JT — a)a-» J dx\{x — a)^-^\ ^
'k(x,y) étant un polynôme que nous choisirons de telle sorte que cette difTérence soit une intégrale analogue à (lo), mais a étanl remplacé par a — i . Pour cela, il suffit que
0« ( Œ^ v^ puisse se mettre sous la forme \^-i ' c'est-à-dire que
se réduise à un polynôme. Or ceci aura lieu si le numérateur s'annule pour les m points de rencontre de ^ = a avec la courbe (§H). On satisfait à cette condition en prenant pour "k un polynôme, en y seul, de degré m — i, qui se trouvera ainsi complètement déterminé, puisque/^ est différent de zéro.
Le théorème est donc démontré, et, en continuant de proche en proche, on est ramené uniquement à l'intégrale qui correspond à a = I.
13. La réduction est moins immédiate si la droite x =^a est tangente à la courbe/, dans les conditions du § 11. Plaçons-nous dans cette hypothèse. Nous allons retrancher de l'intégrale (lo) une expression de la forme
Pour effectuer la même réduction que précédemment, A(j:,^) devra être tel que l'expression
soit de la forme
Il faudra d'abord que — ^^y^Jy puisse se mettre sous la forme d'iin polynôme. Il suffit pour cela que X(^,y) s'annule pour
(«,7i), {o.^y\\ ••• , («,rm-i),
puisque déjà /^ s'annule pour (a,j^i). Le polynôme X(j:,^)/^, pour a: = a, deviendra alors un polynôme en y ayant la racine double j^i et les racines simples ^2» ' • • j^m-i et, par suite, d'après le lemme (§ 11),
pourra se mettre sous la forme d'un polynôme. Nous pourrons prendre pour X le polynôme en j^
p-(^) étant un polynôme en^.
Il faut ensuite que
se mette encore sous la forme d'un polynôme. Nous allons une nouvelle fois appliquer le lemme (§ H). Le numérateur peut s'écrire
(II) \ ■^{y—yi)---(y—ym-t)\^'{y)/'x
Cette expression doit d'abord s'annuler pour (a, ^i), (a,jKa)' "•> (a^ym-'h) • cette condition nous fait connaître les valeurs de
Ces quantités seront parfaitement déterminées. En effet, cher-
chons le coefficient de |Jl(j^i), correspondant au point de contact : ce sera
r-ri y=ri
Or, dans le cas actuel, on a (§ 11)
Cette relation permet de calculer immédiatement l'expression (12) : elle se réduit à
(i3) (— •i5n-i)yi(ri)(7i— j^î)--.(ri— ^'m-i);
or Çi (y) n'est pas nul si le point {a^y^)est, comme nous lesupposons^ un point simple de la courbe /. Donc le coefficient de ^{y\) est différent de zéro.
Les autres coefficients se calculent d'une manière analogue : celui de [A (^2) par exemple est
(— a -f- 1)^1 {yt){yt -y\ ) (yi —yz)- • -{yi -ym-x),
et dans celle expression q^ {y^) n'est pas nul si au point (a^y^) la tangente à la courbe/ n'est pas parallèle à taxe des x^ comme nous pouvons le supposer ; nous avons d'ailleurs a > i .
Il nous faut encore écrire que, dans l'expression (i i) mise sous forme de poljnome et ordonnée suivant les puissances croissantes de ^ — a et y — y^^ il n'y a pas de terme du premier degré en y — yx. Cette condition détermine, sans impossibilité aucune, la valeur de |Jt'(j^i). On trouve en effet que la partie du coefficient àty — y^ qui dépend de \f! {y\) se réduit à
i{\ — <i)\>: {yx)qi{yx){y^ — yt)- . ^{yx — ym-\)\
V-' CkO sera donc déterminée par la condition indiquée. Ainsi [X [y) doit être un polj^nome tel que
t^C^i)» \^{y\h •••» k(7/«-i) et en outre ^'(^0
aient des valeurs données. Il existe une infinité de tels polynômes. Soit, par exemple, <p {y) un polynôme d'un degré au moins égal à m — 2 ayant pour jk = {y\ ? • • • ? JKm-i) les valeurs données, il en
sera de même du polynôme
dans lequel on déterminera la constante C par la condition que
ait une valeur donnée.
Le théorème énoncé (§ 12) est donc encore démontré dans le cas où la droite x = a est tangente à la courbe / en un point simple.
14. D'autres circonstances pourront se présenter. La courbe peut avoir des points singuliers. Supposons qu'elle ait seulement des points doubles à tangentes distinctes, et que la parallèle à Vaxe des y menée par un point double ne soit tangente en ce point à aucune des deux branches de courbes qui y passent. Dans ce cas les réductions faites plus haut ne peuvent plus être employées.
Si a est l'abscisse d'un point double, la droite x = a rencontrera la courbe au point double dont nous désignerons l'ordonnée par y^^ et en m — 2 autres points simples dont nous désignerons comme ci-dessus les ordonnées par yz-^ . . ., ym-\* Par le point double {ayy^) passent deux branches de courbes, et si Téquation de la courbe est mise, dans le voisinage du point double, sous la forme
/(^j y) = A(^ — «)'-*- î*s(^ — «)(7 — ji) -+- c(j^— jKi)* -H . . . = o,
on aura pour une des branches, dans ce voisinage,
y —ri = mi(ar — a) -4- . . . , et, pour l'autre,
y —yt = ^ti^ — a) + . . . ,
les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier en a: — a; nii et i?i2 désignant les deux racines de l'équation
A-+-2Bm-hCm* = o.
Nous aurons besoin d'avoir /^ sur Tune et l'autre branche. Or
Par suite, sur la première branche,
i/^=(j7 — a)(B-+-Gm,)-H...,
mais on trouve de suite
B-+-Gmt = /B«— AG, BH-G/nî= — /B»—AG.
Sur l'une et l'autre branche, les coefficients de x — a dans
-fy développée suivant les puissances de ^ — a sont donc égaux
et de signes contraires.
Ceci posé, remarquons encore qu'il n'y a presque rien à modifier au second lemme du paragraphe 11 pour en déduire que, si la courbe
a un point double en (a<j^<) et passe par les m — 2 points («iJKa)) • • -î («i7m-0» 1^ quotient
en supposant x ^X. y liées par la relation y*(j:,y)=o, peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y.
