Reprenons maintenant la réduction de l'intégrale

Si l'on développe le coefficient de'dx en les puissances de (x — a) et si l'on intègre, le développement de l'intégrale précédente commence, pour chacune des branches, au voisinage du point double, par un terme en

et, dans le voisinage de chacun des points («,J'i)(t > i), par un

terme en

Supposant d'abord a > 2, nous allons montrer qu'en retranchant

de l'intégrale J l'expression

on peut, si l'on choisit convenablement le polynôme )v, s'arranger de manière que le développement de celte différence commence, pour le point double, par un terme

et, pour chacun des points {ci^yi), par un terme. en

(jr — a)»

Pour le point double, le polynôme )^(x, y) devra s'annuler, et si l'on pose

^(^» >^) = A(^ — a) -f- B(j^— Vi) -h . . .,

on devra choisir A et B de manière que

A-hBmi et A-hB/Wj

aient des valeurs données représentant les coefficients de - — — — -^

dans le développement de l'intégrale sur l'une et l'autre branche. Pour un point (a,jKi)) il ^^^^ q"®? quand on remplace j^ par son développement, le développement de \ commence par un terme en {x — a)^, et que le coefficient de {x — a)^ ait la valeur correspondant au coefficient de - — — — :—^ dans le développement de J.

Ces diverses conditions sont évidemment compatibles, et l'on peut d'une infinité de manières avoir un polynôme ^^{x^y) satisfaisant aux conditions requises.

Ceci posé, la différence de l'intégrale J et de l'expression (i4) se présente tout d'abord sous la forme

mais nous savons que, dans le voisinage du point double, les

74 mTÉGBALES SIMPLES ET MULTIPLES.

développements commencent par un terme en

et, dans le voisinage des points simples (a, JKi)) psir un terme en

Nous avons supposé a > 2 ; si l'on avait a = 2, une petite modification devrait être faite: au lieu du terme en -, — -t> il fau-

drait dire le terme en

log(a7 — a).

Or, si nous envisageons l'intégrale (i5), nous allons voir facilement qu'elle est susceptible d'une autre forme. Il faut, en premier lieu, que P(j:,^) s'annule aux points simples (^a^yi)^ et

que la courbe

ait un point double en (<^, J^i)) car autrement les développements de l'intégrale ne pourraient commencer de la manière indiquée. Par suite

peut se mettre sous la forme à^ mu polynôme en x et j^, et l'intégrale (i5) prend la forme

,,gv rVK{x,y)dx

Pi étant un polynôme. Mais nous pouvons ici encore faire la même remarque; le quotient

Pi(^,7) (a: — a)

sera encore susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme,

et nous avons

rV^{x,y)dx

Nous ne pouvons plus continuer le même raisonnement, mais

INTÉGBÀLES INDÉFINIES. 76

cependant nous pouvons encore conclure immédiatement de la nature des développements que P2(^,j^) s'annule aux points {a,yi ), (a, ^^2)1 . . . > {^fym-i )' Finalement, nous sommes ramenés à une intégrale de la forme J, mais avec la condition que le polynôme Q s'annule en tous les points de rencontre de la droite x = a avec la courbe