Partons donc de nouveau de l'intégrale

Q s'annulant en {a,y^ ), (a,^»), . . . , («, J^m-i )•

Je dis que, en retranchant de (I) l'expression algébrique convenablement choisie

la différence sera de la forme de l'intégrale I, mais où a aura été remplacé par a — i .

Faisons le raisonnement d'abord pour a= 2. (Ce cas présente quelques particularités spéciales.) Nous avons

Les développements commencent pour le point double par des termes en

pour les points simples (a, yi)^ par des termes en

log(a: — a).

Envisageons l'expression

{x — af

noas pouvons nous arranger de façon qu'elle reste finie aux points simples, et que, au point double, ses développements sur l'une et l'autre branche commencent par des termes en

dont les coefficients soient les mêmes que pour l'intégrale proposée. Donc la différence des intégrales (17) et (18) aura tous ses développements commençant par des termes en

log(ir — a).

Or celle différence se présente d'abord sous la forme

P(2:,j^) devra s'annuler aux points simples, et la courbe P=o aura un point double en («,J^i); sinon, il y aurait, dans les développements de l'intégrale, d'autres termes infinis que des termes en log(a: — a). Par suite,

est certainement susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme. Nous avons donc

Pi(ar, j) dx (07 -a)*/;'

mais nous pouvons recommencer le même raisonnement, et nous avons finalement l'intégrale

p^ix.y)dx

Le raisonnement est tout à fait de même nature si a est supérieur à deux ; il n'y a aucune difficulté : on passera du cas de a au cas de a — I par une soustraction de la forme indiquée, sous la condition a > I ( * ) .

17. La réduction est donc faite dans tous les cas pour les inté-

(>) Dans la première édition de cet Ouvrage cette réduction est traitée de façon moins simple, quoique plus élémentaire. Ici nous admettons que de la relation algébrique /(a7,j') = o l'on peut déduire un développement de y en puissances entières de(^ — a).On admettra sans peine ce point qui est établi dans la théorie des fonctions algébriques.

grales du second type

en supposant toutefois que la courbe ait seulement des points doubles à tangentes distinctes. Une telle intégrale peut toujours, par la soustraction d^une fraction rationnelle convenable en jc et y y être ramenée à l* intégrale

K{x,y) dx

R désignant encore un polynôme.

On peut, d'ailleurs, supposer que le polynôme W{x^y) ne renferme y qu'au degré m — i au plus, si l'on se sert de l'équation y(a:,^) = o pour faire disparaître les puissances àe y supérieures à m — 1. Ordonnant alors R(aT,j^), ainsi réduit, par rapport aux puissances de x — a, on voit que cette intégrale se ramène en définitive à une intégrale du premier type et à la suivante

r My)dx OÙ R {y) est un polynôme en y seul, de degré m — i au plus.

rv. — Intégrales des fonctions rationnelles de si no? et cos^;.

48. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des intégrales de différentielles algébriques; on rencontrera souvent, dans les applications, des intégrales de la forme

/(sina?, cosar) dxy

J étant une fonction rationnelle de sino? et cosx. Ces intégrales se ramènent immédiatement à des intégrales de fonctions rationnelles : si Ton pose, en effet,

lang? =j^,

on a, comme on sait,

sma? = — =^> cosa? =r ^;

d'autre part, de la relation entre x et y, qui peut s'écrire

X = 7. arc tangj',

on lire

a dy

dx =

sma; = : — > cosa: =

Après ces substitutions, notre intégrale prendra donc la forme

F étant une fraction rationnelle de y.

On peut ramener d'une autre manière l'intégration à celle d'une fraction rationnelle ; en posant

on a, d'après les formules d'Euler,

on aura, de plus,

dz

nous aurons donc encore, après les substitutions, à intégrer une fraction rationnelle.

Comme exemple de la première méthode d'intégration, calculons l'arc de la parabole. Soit y^= ipx l'équation de la courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet. Exprimons les coordonnées x eX. y d'un point arbitraire de la courbe à l'aide de l'angle a que fait la tangente en ce point de la courbe avec l'axe des X. On a

X = —-—5- > y = T-^ — > 2 tangua "^ langa

et l'on trouve de suite

ds^ = dx^ -h dy^ = . ^ •

Nous allons compter Tare à partir du sommet : ds et da. seront de signe contraire. Nous aurons donc

Pour calculer celte intégrale, posons

tang^ =y\ il vient alors

dont l'intégration est immédiate

et, en remplaçante^ par lang-i

p /cosa , a\

19. On peut modifier la seconde méthode d'intégration de façon à présenter cette théorie sous la forme la plus élégante. C'est ce que fait M. Hermite dans son Cours d^ Analyse, et ce que nous allons indiquer rapidement d'après lui.

Reprenons l'intégrale

I /{sinx, cosx)dx. ,

En remplaçant sina; et cosa; par leur valeur en fonction de

z = e^'y on a

/(sinj7, cosa;) = P(z),

P étant une fonction rationnelle de z. Nous allons chercher à mettre P(5), considérée comme fonction de j:, sous la forme la plus favorable pour l'intégration. En décomposant V{z) en fraclions simples, nous avons

^ ^ ^ JUz^^ jU{z — a)n

8o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

71(5) étant un polynôme; on voit que le second terme provient de la racine z ^= o qui pourrait se trouver au dénominateur de P(-3), et que nous mettons ainsi en évidence. Les autres racines a sont différentes de >2éro. Posant alors

a = e^^j nous avons d'abord

= -T} TTi = ( — I — i cot ) ,

conséquence immédiate de la relation qui donne cota: en fonction de e^'. Les termes

se présentent maintenant sous la forme d'un polynôme en cot — ; — Certe forme est peu favorable à l'intégration; mais nous pouvons

exprimer les différentes puissances de cot en fonctions

linéaires de cot^— ; — et de ses dérivées. On a en effet, pour la

seconde puissance,

dcoix

cot* 37 =: — 1 = — •

dx

Supposons d'une manière générale que Ton ait jusqu'au rang n

k=zn — \

V^ „ t/* COX.X

les C étant des constantes; il en sera de même pour cot"+* j?. Dérivons en effet les deux membres de l'identité précédente : on aura

ncot'»-*a?(— 1 — cot*a7) = \ C^

or, cof-'x s'exprimant comme il a été dit, la même propriété subsistera, d'après cette relation, pour cof'+'x. Nous avons donc, après ces réductions,

* . *=«-» rf* cot ( ~" " )

Multiplions cette expression par dx^ et intégrons. Le résultat est immédiat, car la seule quadrature à effectuer sera

X — a cot aXi

qui donne : 2logsin •

Pour toutes les racines a difTérentes de zéro, on fera un calcul analogue. Il reste donc seulement à considérer les termes

mais, en remplaçant ;; par cos^r -f- i sin^r, cette expression prend la forme

N^ ( «rt cos nx -\-^n sin nx),

dont l'intégration est immédiate.

Ces généralités nous suffiront; je renverrai, pour les applications, au Cours d^ Analyse de M. Hermite, où le lecteur trouvera les développements les plus intéressants sur cette méthode de réduction.