I. — Définition des intégrales curvilignes

1. C'est la notion de la somme simple d'éléments de la forme f(^Xi)dxi qui a joué jusqu'ici le rôle essentiel; nous allons chercher à la généraliser. Commençons par une extension qui, tout en n'impliquant aucune idée nouvelle, nous sera très utile dans la suite.

Considérons une fonction V{x.y) des deux variables j? et jk et prenons dans le plan (O^, Oy) deux points a et p de coordonnées (a, A) et (6, B) : on les joint par une courbe C {fig- 5).

Fig. 5.

Divisons l'arc a^ en un certain nombre d'intervalles par les points de subdivision a^ , ao, . . . , a„, dont les coordonnées seront (^iî^«)(^2î^2)« • •(^/i-ijJK«<); nous formons la somme

P(a, A)(xi — a)-hP(a:i,^i)(ar,— Xi)-+-...-hP(jr„>,,7„,)(^> — a:«,),

tout à fait analogue, comme on voit, à celle qui nous a conduit à l'intégrale définie, avec la seule différence que la fonction P ne dépend pas seulement de j?, mais aussi de y.

Quand tous les intervalles (a/, «/+< ) tendent vers zéro, leur nombre augmente indéfiniment, cette somme tend vers une limite. Pour s'en rendre compte, on pourrait répéter les raisonnements faits au début; il est plus rapide de ramener cette somme aux sommes jusqu'ici considérées. Prenons le cas le plus simple où la

courbe a^ est telle qu'à chaque valeur de x correspond une seule

valeur de ^. Soit j' = cp(a;) l'équation de cette courbe a, p; nous supposons la fonction ^(x) continue de a k b. En posant P[ or, o (j;)] = F(j:), la somme précédente n'est autre chose que

F(a) (xi - a) -H F(ari) (372— a7i) ~. . .-♦- F(ar;,i) (^ - a?,»-i) ; elle a, par conséquent, pour limite rinlégrale définie

Cette intégrale se représente par le symbole

fv{x,y)dx',

on dit que c'est une intégrale curviligne prise le long de la courbe C depuis a jusqu'à p. Pour que cette intégrale ait un sens, il ne suffit pas de donner les points extrêmes a et (3, il faut en outre indiquer le chemin suivi pour aller de a à j3.

II peut arriver que la courbe joignant a à p soit rencontrée en plus d'un point par une parallèle à l'axe des j^. Nous parla-

*rerons alors l'arc de courbe en un certain nombre de parties Dour lesquelles à chaque valeur de x ne correspondra qu'une va-

leur de y. Les extrémités de ces arcs seront les points où la tangente à la courbe est parallèle à Oy. Prenons, par exemple, la Jig, 6. II y aura sur l'arc (a^) un point y où la tangente est parallèle à Oy. L'intégrale de a à y se calculera comme plus haut et pareillement celle de y à^ ; mais, dans le second cas, la fonction y=^(^x) à substituer dans P ne sera pas la même que dans le premier.