On définira de même l'intégrale curviligne
fQi^.x)dy
prise le long d'un arc C et dans laquelle la variable de sommation est^. Elle est la limite de la somme des éléments
Q(a,A)(j^, — A)H-Q(ar,,ri)0'î-ri)-^.---^Q(^«-i.J/i-i)(B-^„-i),
et les mêmes considérations serviront à la ramener à une intégrale définie.
On peut indiquer pour l'intégrale curviligne une méthode de calcul plus générale dont nous ferons fréquemment usage.
Soient
les coordonnées d'un point quelconque de la courbe exprimées en fonction d'un paramètre t. Ces deux fonctions seront supposées des fonctions continues de l; quand t variera de Cq k t^, le point (^,jk) décrira l'arc de courbe C. Admettons en outre que les fonctions f(t) et (f{t) aient des dérivées /'(^) et ^'(t) et que ces dérivées soient des fonctions continues de tj sauf peut-être en un nombre limité de valeurs de f, pour lesquelles J'{t) et ç'(/) pourront passer brusquement d'une \aleur Jl nie à une autre valeur finie. Dans ces conditions, si l'on se reporte à ce que nous avons vu relativement au changement de variable dans les intégrales définies (§ 19, Chap. I), et aux discontinuités possibles (§ 21, Chap. 1) dans les fonctions que l'on intègre, il est clair que l'intégrale curviligne
INTÉGRALES GURTILIGNES. 85
prise le long de la courbe C, s'exprimera, en prenant t comme variable de sommation, par l'intégrale définie ordinaire
En admettant comme possibles les discontinuités indiquées de /'(/) et <p'(^), nous pouvons avoir des courbes présentant des points anguleux où la tangente change brusquement de direction ; c'est pour avoir plus de généralité dans les courbes employées que nous avons fait cette hypothèse.
Les intégrales curvilignes les plus importantes et dont nous aurons le plus souvent à nous occuper se présentent sous la forme de la somme des deux intégrales précédentes
Si l'on emploie comme précédemment le paramètre /, cette intégrale pourra s'écrire
II. — Conditions pour que l'intégrale curviligne j ? dx -\-Çldy ne dépende que de ses limites.
3. Nous allons nous proposer une question d'une grande importance pour l'Analyse pure et pour la Physique mathématique. Je suppose que nous ayons dans le plan une région limitée par un seul contour, et que, dans cette région, les fonctions P(^,y) et Ç^{x^y) soient continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre. 11 est entendu que le point {x^y) ainsi que les courbes que nous aurons à tracer ne sortiront pas de la région envisagée. Posons-nous le problème suivant :
Quelle condition devront remplir les fonctions P et Q pour que l^ intégrale f P dx -{- Q dy prise le long d^une courbe quelconque tracée entre deux points arbitraires A et A' ne dé-
pende pas du chemin suivi, mais seulement des coordonnées de ces deux poin ts ?
Pour trouver celle condition, nous allons avoir recours à une méthode d'une extrême généralité en Mathématiques et qu'on a appelée la méthode des variations. Ce ne serait pas le lieu de Texposer ici en détail. Bornons-nous aux remarques suivantes dont nous aurons à faire usage :
Soitj^=/(^) l'équation d'un arc decourbe joignant le point A de coordonnées (a, b) au point A' de coordonnées (a', b'). On peut considérer la courbe précédente comme faisant partie d'une famille de courbes dépendant d'un paramètre a et passant toutes par les points A et A', la courbe donnée correspondant à la valeur a^ de ce paramètre. Telle est, par exemple, la famille de courbes
(0 y =/(a7)-t-(a — ao)(a7 — a)(ar — a')©(a7,a),
(p (^, a) étant une fonction continue quelconque de x et de a. Ceci posé, formons l'intégrale curviligne de A en A' sur une quelconque de ces courbes : cette intégrale sera, en général, une fonction de a, puisqu'elle variera avec la courbe. Si nous supposons, comme dans le problème proposé, que l'intégrale ne dépende pas du chemin, cette fonction de a devra se réduire à une constante.
Nous allons avoir, dans la suite, à prendre des différentielles par rapport à ^ et par rapport à a : les premières seront représentées par la lettre rf, les secondes par 8. La différentielle par rapport à a d'une fonction S(a;, a) est souvent appelée la variation de cette fonction. Il est clair que l'on aura rfSS = ôrfS, puisque l'on peut intervertir Tordre de la différentiation, les deux variables :r et a étant indépendantes : l'égalité précédente exprime simplement
lidentite
dx doL ô% dx Revenons à l'intégrale
I = / P cte -+- Q dj^,
prise en faisant varier a; de a en a', y étant définie par l'équation (i), et calculons sa différentielle par rapport à a, c'est-à-dire sa variation 81. Sous le signe d'intégration P, Q et rf)^ sont desfonc-
lions de a, puisque y est fonction de x et a. Appliquons la règle de la difTérentiation sous le signe somme : ce qui nous donne
Or
et, comme nous Tavons dit,
ody = dùjr;
nous pouvons donc écrire
Intégrons par parties cette dernière intégrale; nous aurons
Or ùy est nul pour :r = a et pour x = a', puisque toutes les courbes de la famille (i) passent en A et en A'. Il reste donc pour 81,
en remarquant que les termes en -— disparaissent d'eux-mêmes,
el cette quantité doit être nulle puisque I ne doit pas dépendre de a.
Supposons que, dans l'équation (i), <p ne dépende que de x.
On aura
Donc la variation de 81 est, dans ce cas, donnée par la formule
On intègre le long d'une courbe C de la famille (i); sur cette courbe ^ ^ doit être nul identiquement : car, s'il en était
autrement, cette difTérence aurait sur la courbe tantôt un signe, tantôt un autre. Or ©(a:) est une fonction continue arbitraire qui pourrait être prise de telle sorte que le produit
fût d\in signe invariable, et par conséquent SI ne serait pas nulle. Nous aurons donc identiquement
dy ôx sur toute courbe joignant A à A', et par suite pour toute valeur
i. Nous avons supposé, dans le calcul qui précède, que la courbe était donnée par une équation de la forme y = (p(:r). Il est utile de calculer la variation de l'intégrale en supposant que ^ et j^ soient des fonctions de t,/(t) et ^(t), définissant une courbe passant en A et en A', de telle sorte que, pour t = ^o? on ait a; = a, y = b et que, pour / = ^i , on ait j; = a', y = b'.
Prenons, en suivant la même idée que plus haut, une famille de courbes
r = ?(0-^{a-ao)(^ — ^l)(<-^o)x(^«)•
L'intégrale aura pour variation
8P dx -+- 8Q û?^ -h Pa dx -i-Q^dy;
or ICI
dx ày ^ ^ ^ dx dy ^
On intègre par parties, comme précédemment, les deux derniers termes, ce qui donne
f P^dx= PdZx = — I <iP8a7,
et une intégrale de même forme pour le dernier terme. II vient donc finalement, en remplaçant rfP par
On retrouve ainsi la condition nécessaire, j- = --^^ pour que cette intégrale ne dépende pas de a.
5. Nous allons établir maintenant que cette condition est suffisante. Supposons que nous ayons deux courbes passant en A et en A', et soit la première donnée par
et la seconde par
les points extrêmes correspondant, pour l'une et l'autre, k t = t^^
J'envisage la famille de courbes, avec un paramètre a, définie par les équations
I aj — (x% Œj — ai
\ "^ ^ ai — as ^ ^aj— ai
ai et as sont deux constantes : pour a = ai on aura la première courbe, et a = as donnera la seconde. Or, en se reportant à l'expression de SI, on voit que cette variation est nulle puisque
— = j^- Donc I ne dépendant pas de a aura la même valeur
pour la première et la seconde courbe : c'est ce que nous voulions établir.
Une remarque est nécessaire. Les courbes représentées parl'équalîon (2), quand on fera varier a de ai à aa se déformeront d'une manière continue en passant de la courbe (/, ç) à la courbe (/i , çi): elles balayeront donc tout l'espace compris entre ces deux courbes. Il faut donc que dans cet espace les deux fonctions V{x^y) et C^(pc^y) soient continues ainsi que leurs dérivées du premier ordre 5
c'est bien ce qui arrivera d'après nos hypothèses, car, l'aire considérée étant limitée par un seul contour, deux courbes, comprises dans cette aire et ajant les mêmes extrémités, pourront se ramener l'une à l'autre sans sortir de cette aire.
6. Nous pouvons donner une autre forme aux résultats précédents ^ mais auparavant donnons une nouvelle définilion. On entend par intégrale le long (Vun contour fermé une intégrale curviligne où le point d'arrivée coïncide avec le point de départ. Si la fonction à intégrer n'est susceptible que d'une seule valeur en tous les points du contour d'intégration considéré, cette intégrale aura évidemment la même valeur, quel que soit le point origine. De plus cette intégration peut être effectuée dans un sens ou dans l'autre; nous le préciserons de la manière suivante en nous plaçant au point de vue plus général d'une aire A limitée par ime ou plusieurs courbes fermées C, C, C". Ce sera, dans le cas dela//^. 7,
l'aire intérieure à C et extérieure aux courbes C et C. Considérons autour d'un point P de cette aire un élément de surface limité par le contour y. Le sens positif sut ce contour sera tel qu'un mobile en le décrivant se meuve dans le sens de O^ Vers Oy par rapport au point P. Supposons maintenant que le point P soit voisin d'une portion quelconque du contour C, C, C" et qu'une partie du périmètre Y appartienne à ce contour; un sens déterminé se trouvera alors fixé sur celui-ci, et nous le désignerons encore sous le nom de sens positif.
Cela posé, on peut énoncer le théorème suivant :
U intégrale f P d'à: 4- Q dy^ effectuée le long de tout contour fermé limitant une aire en chaque point de laquelle les fonctions P e^ Q sont continues et satisfont à la relation — r= -^,
est nulle,
La démonstration de ce théorème est immédiate : il suffit de prendre deux points A et B surle contour (^^. 8); Tinlégrale le long
de Tare ACB sera égale à Tintégrale prise le long de l'arc AG'B
ACB •^'aC'B
Donc ou aura
en prenant l'intégrale le long de ACB C'A, puisqu'une intégrale
Fig. 8.
curviligne change de signe quand on parcourt en sens inverse l'arc d'intégration.
7. Il a été supposé, dans ce qui précède, que l'aire où restait le point (x^y) et où les fonctions P et Q étaient continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, était limitée par un seul contour. D'intéressantes conséquences résultent encore du théorème établi, dans le cas où l'aire est limitée par un nombre quelconque de contours. D'abord il est manifeste que l'intégrale prise le long d'un contour fermé sera certainement nulle quand ce contour pourra être ramené à un point par une déformation continue sans traverser le contour de l'aire. Si maintenant nous considérons une courbe fermée quelconque tracée dans le contour {fig, 9),
par exemple la courbe F dans Taire A limitée par les courbes C, G' et G", en général l'intégrale prise le long de F ne sera pas nulle ; mais envisageons une seconde courbe F' qui puisse se ramener à F par une déformation continue sans traverser aucune des courbes G ;
les intégrales prises le long de F et de F' dans le même sens, le sens positif par exemple, seront égales, si l'on a dans Faire A, comme nous le supposons, la relation
dy ~" dx
et si les fonctions P et Q, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, sont continues. Gela résulte de ce que la variation de l'intégrale est nulle quand on passe de F' à F par une déformation continue. Dans certains cas la déformation pourra être faite de telle sorte que le nouveau contour se compose de deux ou plusieurs parties distinctes. Ainsi (T^g- ïo) l'intégrale prise le long d'un contour F
Fig. 10.
enveloppant les deux courbes limites G' et G" sera égale à la somme des intégrales curvilignes prises le long des contours F et F'' qui enveloppent respectivement G' et G^'.
INTÉGRALES CURVILIGNES. qS
On peut en effet déformer Y de manière à le réduire au contour r'/n/ïF^/im; il faut ici considérer mn comme une ligne ayant deux bords. Les intégrales prises le long de mn et de nm se détruisent évidemment-
III. — De l'intégrale curviligne considérée comme fonction de sa limite supérieure.
8. Pour fixer les idées, prenons un contour simple à l'intérieur duquel les fonctions P et Q et leurs dérivées partielles sont continues et satisfont à la condition (3).
L'intégrale
prise d'un point (a, b) à un point variable (^,^), ne dépendant pas du chemin suivi, peut être regardée comme une fonction u de X et j'. Cherchons ses dérivées par rapport k x et y. Laissant d'abord y constant, nous faisons varier x de A^, et nous aurons ainsi
u{x-\- ^x,y)— u{x^y)^ I Pdx-^Çldy\
car on peut supposer qu'on va du point (a, 6) au point (:r4-A:r,^) en .suivant d^abord le même chemin que pour aller en (x^y); puis, pour aller du point (x^y) au point {x-\- ^x^y)^ en suivant le chemin rectiligne : alors l'intégrale se réduit à
P(x,y)dx = \x,P(x -4- e Aa:,^), (o < ô < i).
Nous aurons donc
r=P(a7-H0Aa?,7),
^x d'où se conclut
et par un raisonnement analogue
Ainsi la fonction u{x^y) a pour dérivées partielles P et Q.
Il est d'ailleurs évident que si Ton a une fonction u{x^ y) ajanl des dérivées partielles P et Q, on aura
dy ^ âr* ce qui résulte des identités
dx ày "" dx ày dx ~~ à y
9. Étant données deux fonctions P(^,j^) et Q(.r, j^) satisfaisant à la relation précédente, on peut, d'une manière plus élémentaire, rechercher la fonction u(x^ y) ayant ces deux fonctions pour dérivées partielles du premier ordre. De la relation
on déduit, en intégrant par rapport à a; et considérant^ comme un paramètre arbitraire,
o{y) étant une fonction arbitraire de y.
Peut-on choisir '^{y) de manière que -r- = Q? On doit avoir
— dx-^^'{y),
àP àO . , r^dO ,
OU, en remplaçant — par -^ et intégrant / j^ dx^
donc
?(r)= Ç Q{^o,y)dy, et il vient finalement
u— i P(^x,y)dX'\' I Q{xo,y)dy.
INTÉGRALES CURVILIGNES. gS
Remarquons que rintégrale curviligne
pouvait nous conduire à la même forme de u. Prenons en effet, pour contour d'intégration, les deux portions de droite obtenues en menant respectivement par (j^ojj^o) et par (x,y) des parallèles à Oy et Ox : l'intégrale sur la parallèle à Oj se réduira à
et l'intégrale sur la parallèle k Ox k
f V{x,y)dx.
La somme de ces deux intégrales fournit bien la valeur trouvée plus haut pour u.
TV, — Exemples d'intégrales effectuées le long d'un contour fermé. Racines conmiunes à deux équations.
10- Nous avons dit que l'inlégrale eDTcctuée le long d'un contour fermé n'était pas nécessairement nulle; prenons par exemple l'intégrale
I Cxdy — y dx iTzJ x^-\-y^
La condition d'intégrabilité est satisfaite. Cherchons la valeur de l'intégrale prise le long d'un cercle aj'ant l'origine pour centre, et dans le sens positif par exemple.
Nous aurons, R désignant le rayon du cercle et 8 l'angle polaire,
ir = Rcos6, j = RsinO;
et par suite
X dy — y dx = IP c?0.
L'inlégrale se réduira donc à
L'intégrale prise le long de ce cercle, et plus généralement le long de toute courbe fermée tournant une fois autour de Torigine^ sera égale à un,
