L'intégrale précédente pouvait s'écrire
— / <f arc tanff — :
prenons maintenant l'intégrale
Fj et F< élant des polynômes en x et y, ou même plus généralement des fonctions de x Qiy développables, dans le voisinage de toute valeur {x^^yo) de x et y, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x — x^ ely — yo. Cette intégrale peut s'écrire
•iitj
ou encore
l=±fpd.^(ldy.
en posanl
F ^^* F ^^' ^' àx ^' dx
FÎH-F} '
L on voit de suite que -r— = ^»
*■ oy ox
Considérons maintenant un contour fermé quelconque C, à l'intérieur duquel les deux fonctions F| et F2 ne s'annulent jamais simultanément. L'intégrale (4), prise le long de ce contour dans le sens positif, a une signification remarquable que nous nous proposons d'obtenir. Tout d'abord s'il n'j^ a, à l'intérieur du contour, aucune racine commune aux deux équations
Fi(ar,^) = o,
INTÉGRALES GURYILIGNES. 97
l'intégrale sera nulle d'après le théorème fondamental (§ 6). Mais supposons qu'il y ait une ou plusieurs racines communes à ces deux équations : autour de chacune de ces racines nous pouvons décrire un contour et l'intégrale prise le long du contour initial sera égale à la somme des intégrales prises le long de chacun de ces contours.
Cherchons la valeur de l'une quelconque d'entre elles, en supposant qu'elle est à l'origine.
Nous aurons alors, dans le voisinage de a? = o, y = o,
Fi (^> 7) = ai a? -+- biy -4- . . . , F2(^, y) = «î^? -h b^y .4- . . . ,
les termes non écrits étant de degré supérieur au premier : nous nous bornons essentiellement au cas où a^bi — a^b^ n'est pas nul, c'est-à-dire à celui où le point (^ = o, /== o) est un point simple de rencontre pour les courbes F| = o, F2 = o.
Je dis que l'intégrale ne change pas de valeur si nous réduisons F| et F2 à ses termes du premier degré. En effet, concevons qu'on intègre le long d'un cercle de rayon p ayant l'origine pour centre, nous aurons, dans l'intégrale I, un terme indépendant de p et une partie devenant infiniment petite avec p. Le terme indépendant de p n'est autre que l'intégrale I, où Y^ et Fa sont remplacées par
a\x-\-biy et a^x-irb^y^
la seconde partie doit disparaître, puisque l'intégrale ne dépend pas de p, et nous avons
j D r xdy — ydx ^
•i^J [(axx ->r bxyy-^ {a^x -h bty)^Y en posant
D = ai 61 — aj6i.
Pour effectuer rapidement le calcul de cette intégrale, prenons comme nouveau contour d'intégration Vellipse représentée par
l'équation
{a^x -^ biyy-h {atx -\r b^yy = 1,
supposée parcourue dans le sens positif.
gS INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
L'intégrale se réduit alors à
ydjT.
Mais si nous nous servons des coordonnées polaires p et B, de telle sorte que
ar = p cosO, ^ = p sin 6,
on aura
donc
X dy — y dx ^ p- <f6 ;
La signification géométrique de l'intégrale essentiellement positive, qui figure dans le second membre, est facile à trouver; c'est le double de l'aire de notre ellipse. Or celle-ci a pour aire, comme on le trouve aisément,
(en désignant par |D1 la valeur absolue de D). Nous avons donc
Di
et, par suite, I===ii i, suivant que D est positif ou négatif. Quant à U, c'est la valeur que prend le déterminant fonctionnel
<JF,
dP,
dx
ày
dF,
dF,
dx
ày
quand on substitue k x ^X. y les coordonnées du point racine considéré. Chaque racine donne donc -+- 1 dans l'intégrale quand ce déterminant est > o, et — i si ce déterminant est < o. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Uintégrale
2TzJ FJ
— Ft rfFi
prise le long d*un contour Jermé dans le sens positif, est égale
à V excès du nombre des racines du système d^ équations
Fi (^, y) = o. F2(.r, jk) = o, pour lesquelles le déterminant fonctionnel -r-^ -r^ r^ -r-^ est
r^ ^ ^ àx oy dy ôx
positifs sur le nombre des racines pour lesquelles ce déterminant est négatif.
On voil l'importance du signe du déterminant fonctionnel : Dous verrons au Chapitre IV une formule donnant pour les deux équations précédentes le nombre des racines contenues dans un contour. Remarquons seulement pour le moment que, si, quels que soient x et y^ le déterminant fonctionnel a un signe invariable, l'énoncé précédent permettra de trouver le nombre des racines. Prenons, en particulier, un polynôme /(-s) à coefficients quelconques; si l'on pose
z = x-^ ly, on aura
F| et F2 étant deux polynômes en x et^. Or en diflférentiant, par rapport à a; et à y, l'identité précédente, on trouve
et par suite
-^ ^ ^ dy Oy
^1 ^ dFt OVj
dx ~ ày ^y ~ ^^
Le déterminant fonctionnel de Y ^ et F2 se réduit à
/c?F,\î /t)F,\« \ùx)-^K6p)'
et est positif-, par suite l'intégrale I donnera le nombre des racines contenues dans un contour fermé. Nous retombons ainsi sur un important théorème dû à Cauchy, que nous aurons à étudier d^une manière plus complète dans la Théorie des fonctions.
