I. — Définition des intégrales doubles

1. Nous allons donner à la notion d'intégrale une nouvelle extension qui, en partant toujours de la même idée fondamentale, nous conduira à la notion de Vintégrale double. Soit /(j?, y) une fonction de deux variables ^ et ^; faisons varier x entre Xf^ et X, et y entre y^ et Y. On supposera que f{x^ y) reste continue pour toutes ces valeurs de x et y. Pour passer d'une sommation simple à une sommation double, il est naturel de partager les intervalles (^©i X.) et(yo> Y) comme nous l'avons déjà fait; on aura ainsi les suites

^0, ^1» arj, ..., 27,1-1, X,

ro, yu yi, ..., rp-n y, et l'on considérera la somme double

en l'étendant à toutes les valeurs de ^ et de k respectivement de o à n — let de o k p — i. Nous allons démontrer que, Xo et X ainsi queyo et Y restant fixes, si tous les inten^alles Xi^t — Xt et yA+4 — yk tendent vers zéro suivant une loi que/conque, lorsque leur nombre augmente indéfiniment, l'expression précédente a une limite déterminée.

Une représentation géométrique facilitera le langage {^fig * 1 1) : prenant deux axes de coordonnées rectangulaires, nous menons les

droites x = Xfi^ ^=:Xetj^=^oiy = Y qui forment un rectangle MNPQ (on suppose a;o < X et yo< Y). Ce rectangle sera divisé par les droites correspondant aux subdivisions x^ , x^^ . . . , Xn\ ,

Fig. II.