X. Xi j:i>, X X

^^ .>^<ï y^i • • •• J^/»-< ^" "'^ réseau de rectangles plus petits. Soit le point a de coordonnées (ar/, yk)] j'appellerai rectangle correspondant à ce point, le rectangle ayant ce sommet et ayant pour côtés Xij^^ — Xi et yk+\ — yk- Pour former la somme S, on envisage donc tous les points (^i^yk), on prend la valeur de la fonction en ce point, on la multiplie par l'aire du rectangle correspondant, et Ton fait la sommation.

2. Pour démontrer le théorème énoncé, nous devons établij un lemme analogue à celui qui nous a servi dans la théorie de l'intégrale simple. Rappelons d'abord la définition de la continuité d^une fonction /(^,j') de deux variables. Une telle fonction est continue dans le voisinage d'un point (^,y), si, étant donné un nombre positif s aussi petit qu'on veut, on peut déterminer une quantité positive 8, telle qu'on ait

pour tout point {x'^y) dont les coordonnées satisfont aux inégalités

Ceci posé, dans l'hypothèse où la fonction /(^,^) est continue dans le rectangle indiqué, on pourra énoncer le lemme suivant : Étant donné un nombre e aussi petit qu'on voudra^ on peut t rouver une quantité 8 telle qu'à V intérieur de tout rectangle^

de côtés parallèles aux axes, compris dans le rectangle MNPQ et ayant ses côtés moindres que 8, /'oscillation de la fonction f{x^y) soit moindre que e.

Nous entendons encore ^diV oscillation de la fonction dans une aire la différence entre le maximum et le minimum de la fonction dans cette aire. Ce lemme est une conséquence immédiate de la continuité de la fonction /(j;, y) à l'intérieur du rectangle; on le démontrera en raisonnant comme au § 2, Chap. I. Partageons MN et MQ en un certain nombre de parties égales, puis de la même manière chacune de ces parties et ainsi de suite. On décomposera ainsi le rectangle MNPQ en un réseau de rectangles égaux de plus en plus petits; il arrivera un moment où l'oscillation delà

fonction dans chacun de ces rectangles sera inférieure à -- Si, en

effet, il en était autrement, on aurait nécessairement un premier

rectangle dans lequel Toscillation serait supérieure à -y puis dans

celui-ci un second, et ainsi de suite. Ces rectangles sont compris les uns dans les autres et leurs dimensions tendent vers zéro 5 ils ont donc nécessairement un point pour limite. A Tiniérieur d'un rectangle de dimensions aussi petites qu'on voudra autour de ce

point limite, l'oscillation de la fonction serait ^^^/^er/e^/e à -^ ce qui

est en contradiction avec l'hypothèse de la continuité de la fonction. Raisonnant alors comme dans le cas d'une fonction d'une variable, on voit qu'il suffit de prendre pour 0 la plus petite des dimensions des rectangles, quand l'oscillation dans tous ces rectangles est devenue inférieure à - •

3. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration de l'existence de la limite. Prenons d'abord une loi particulière de subdivision, pour laquelle on passera d'un mode de subdivision au suivant en conservant toujours les lignes de subdivision précédentes. Dans ces conditions, désignons par M/,/t le maximum de la fonction/dans le rectangle correspondant au point (x/, y^),

et formons la somme

INTÉGRALES DOUBLES. Io3

Cette somme aura certainjement une limite quand les rectangles tendront vers zéro en suivant la loi indiquée. En effet, elle ne peut que diminuer quand on passe d'un mode de subdivision au suivant, et, d'autre part, elle'reste supérieure à

en désignant par m le minimum de /(^, y) dans le rectangle MNPQ. Soit donc (x la limite de l'expression (2). Revenons à la somme S : elle aura dans les mêmes conditions la même limite. En effet, on peut prendre un mode de subdivision assez avancé dans la suite, pour que, dans tout rectangle (/, k\ on ait

\^i,k-f{cci,yk)\<t

(il suffira que les côtés de tous les rectangles soient inférieurs à 8 d'après le lemme). Les sommes (i) et (2) auront une différence moindre que :

et, comme t est aussi petit que l'on veut, il en résulte que S a [x pour limite.

4. Il nous faut maintenant démontrer qu'il y aura toujours une limite égale à [x, quelle que soit la loi de subdivision adoptée. Nous allons comparer, à cet effet, la somme S correspondant à un mode de subdivision (^,J^) pris dans la loi précédemment étudiée, avec la somme S' correspondant à un mode quelconque de subdivision que nous désignerons par (>:, ^). Nous donnant à l'avance un nombre s aussi petit qu'on voudra, prenons un mode de subdivision (^,y) assez loin dans la série pour que chacun des intervalles Xij^\ — Xi ^lyu^s — y h soit moindre que 8; supposons d'autre part les intervalles (-3, t) assez petits pour qu'entre deux X et entre deux j' consécutifs il y ait au moins un 2 et un t.

Au rectangle ({, A:) correspond dans la somme S le terme

/(^/i yk){xi+x — ^/)(/A-Hi — ^*).

Écrivons, d'autre part, la somme S' en décomposant chaque rectangle (z, t) empiétant sur plusieurs rectangles (x^y), en une

somme de rectangles contenus chacun tout entier dans un seul de ces rectangles. Nous pouvons alors comparer la part de la somme S' provenant du rectangle (t, k), à la part de la somme S provenant du même rectangle. Comme la valeur de la fonctionna associer à chacun des rectangles partiels formant le rectangle (/, k) est la valeur de cette fonction pour un point situé dans un rectangle {Xy y) limitrophe du point {i, k)y il s'ensuit que cette valeur différera àe/(xi, yx) de moins de e; par suite, la différence des deux parts considérées de S et S' sera moindre que e multipliée par la somme des aires des rectangles partiels, c^est-à-dire

Ê(a7/+i — Xi)(yji.+i — 7A-).

Nous en concluons que

|S'-S|<£(X-To)(Y-^o).

Or s a |JL pour limite ; il résulte de l'inégalité précédente que S' aura la même limite, comme nous voulions l'établir. On représente cette limite par le symbole

il rappelle que cette limite est la somme des éléments /(x^ y) dxdy^ où les deux accroissements dx et dy sont positifs, et l'on dit que cette intégrale double est étendue à Taire du rectangle MNPQ.

5. Le calcul de cette intégrale peut être fait en effectuant successivement la recherche de deux intégrales définies. En effet, écrivons la somme