i){yk^\-yk) sous la forme

2 I (^*-^i '-yk)^f{^h yk) (ar,+, — Ti)\ ,

et faisons tendre tous les intervalles {xi^^ — xi) vers zéro en laissant d'abord les y constants. La somme dans la parenthèse deviendra

j f{^,yk)dx,

INTÉGRALES DOUBLES. Io5

Substituons cette valeur et faisons tendre les intervalles {yh^\ —y m) vers zéro, nous aurons enfin

En effectuant la première intégration / f{x^y) dx^ on regarde

y comme un simple paramètre : le résultat est une fonction de j^, qui, multipliée par dy^ est intégrée entre j^o et Y. On aurait pu faire les intégrations dans l'ordre inverse, et le résultat eût été

] àx Ç f(x,y)dy,

qui doit avoir la même valeur, puisque la loi suivant laquelle les intervalles tendent vers zéro est indifférente. On n'oubliera pas que les quatre lettres x^y X, j^©? Y représentent ici des constantes.

6. Telle est la première généralisation de l'intégrale définie qui s'offrait immédiatement; la forme géométrique que l'on donne à cette notion, en parlant d'intégrale double étendue à l'aire d'un rectangle, inspire une généralisation plus étendue. Prenons en effet, au lieu de l'aire d'un rectangle, une aire plane quelconque (*) limitée par une courbe C {fig* 12), et traçons dans le plan une succession de parallèles à 0:r et à Oy. Nous rangeons encore, par ordre croissant de grandeurs, la succession des abscisses des parallèles à O^, et des ordonnées des parallèles kOx, Nous aurons ainsi un réseau de rectangles : le rectangle («, A:) sera, comme plus haut, celui qui correspond au point (^i^j'a) et qui aura pour

(*) Pour bicD préciser, nous supposons que la courbe C peut être partagée en un nombre fini de parties, telles que chacune d'elles soit déterminée par une équation de la forme

/(x) étant une fonction continue de x^ n'ayant pas un nombre infini de maxima et de minima. C'est donc le cas usuel et élémentaire que nous examinons ici. On pourrait se placer à un point de vue beaucoup plus général; nous renvoyons pour ces considérations délicates, où la théorie des ensembles joue le rôle essentiel, au Traité d'Analyse de M. Jordan.

côtés Xi^i — Xi et yff^i — yf(. Formons la somme

^^A^i^yfc){^M — ^i){yA-+i —yk),

en l'étendant à tous les points {xi^ytç) contenus à l'intérieur de l'aire ou sur le périmètre. Certains de ces rectangles, tels que mnpq^

Fig. 12.

pourront sortir en partie de Taire limitée par C; ces rectangles irréguliers figureront néanmoins dans notre somme. Nous allons montrer que la somme précédente tend vers une limite quand tous les rectangles tendent vers zéro suivant une loi quelconque.

Prenons encore, pour commencer, une loi particulière de subdivision, pour laquelle on passera d'un mode de subdivision au suivant en conservant toujours les lignes de subdivision précédentes. Nous désignons par M/^a le maximum de la fonction /dans le rectangle (/, A"), et nous envisageons la somme

22M|,A(a:/-Hi — a-/)(7A-4-i — 7a).

On voit immédiatement, comme plus haut, que cette somme a une limite quand les rectangles tendent vers zéro suivant la loi indiquée. Elle ne peut en effet que diminuer quand on passe d'un mode de subdivision au suivant, et même pour les rectangles irréguliers la diminution de la somme pourra provenir de ce que l'aire à envisager se trouve réduite. D'autre part toutes ces sommes sont supérieures à

en désignant par m le minimum àitf[x^y) dans TinLérieur d'une courbe fixe extérieure à C et s'en rapprochant d'ailleurs autant qu'on veut. Or, si m est positif, la somme (4) sera positive. D'autre part, si m est négatif, cette somme sera supérieure à mR, en désignant par R l'aire d'un rectangle quelconque comprenant à son intérieur la surface entière limitée par C. Dans l'un et l'autre cas, la somme (4) décroissant toujours et supérieure à une quantité fixe aura bien une limite |Ji. Il en sera de même de la somme (3), comme le montre le raisonnement fait à la fin du § 3.

7. Nous achèverons cette étude en montrant qu'il j aura toujours une limite égale à [x, quelle que soit la loi de subdivision adoptée. Une petite difficulté se présente seulement pour les rectangles irréguliers que nous n'avions pas à considérer au § 4. Raisonnant de la même manière et employant les mêmes notations, nous voulons trouver une limite supérieure de | S' — S | . Or, les rectangles réguliers donnent pour cette différence une part égale au plus à

'/+! — J'/)( vam — r/,.),

la sommation ne comprenant ici que les rectangles réguliers. Cette expression est moindre évidemment que eR(§6). Désignons par M le maximum de/; les rectangles irréguliers donnent dans S et dans S' une part inférieure au produit de M par la somme des aires des rectangles irréguliers : désignons cette dernière par 5, nous aurons

I S —S 1 <êR-F2M5.

Si donc nous montrons que la somme s des aires des rectangles irréguliers tend vers zéro quand tous les rectangles tendent vers zéro, notre démonstration sera achevée, puisque l'inégalité précédente nous montre que S' — S aura zéro pour limite.

Pour établir que s tend vers zéro, considérons deux parallèles consécutives à l'axe des y^ et soit ab un des arcs qu'elles découpent sur la courbe {Jig- i3). Plusieurs rectangles îrréguliers pourront être traversés par l'arc aè : il y en aura trois dans le cas de la figure. La somme des aires de ces rectangles sera égale à leur

io8

hauteur commune A, distance des deux parallèles, multipliée par le somme mn de leurs bases. Nous supposons d'ailleurs les côtés

Fig. i3.

de tous les rectangles moindres que S; donc mn sera moindre que ^3 augmenté de la projection de la corde ab sur Oy, et cela quel que soit le nombre des rectangles. Nous pouvons alors dire que la somme des rectangles envisagés est moindre que

et, par suite,

ou, puisque A < 8,

s <riù

Or \^ A est finie; car, en désignant par X le nombre maximum des

intersections d'une parallèle à l'axe Oy avec la courbe C, et par / la distance des parallèles extrêmes à Oy rencontrant la même courbe, on a

D'autre part, la somme des cordes ab est finie; en effet, la somme de leurs projections sur Ox est moindre que /â, et la somme de leurs projections sur Oy est moindre que /'X', en désignant par V le nombre maximum des intersections d'une parallèle k Ox avec la courbe C, et par /' la distance des parallèles extrêmes à O^ ren-

contrant celte courbe. Il en résulte

^ab<a

rr.

5, étant moindre que le produit de 8 par un facteur qui reste Jini, tend donc vers zéro quand tous les rectangles tendent vers zéro.

On pourra établir d'une manière plus rapide que s tend vers zéro si l'on suppose que l'on puisse construire deux lignes polygonales fermées, Tune intérieure, l'autre extérieure à la courbe, et telles que l'aire comprise entre ces deux lignes soit inférieure à un nombre e donné à l'avance aussi petit que l'on voudra. Tous les rectangles formante, si les subdivisions sont poussées suffisamment loin, étant compris dans cette aire, la somme s tendra vers zéro. Comme on s'en rend compte aisément, on pourra obtenir des lignes polygonales remplissant les conditions énoncées plus haut dans le cas où le contour est rencontré par toute droite en un nombre limité de points; cette dernière condition n'est d'ailleurs pas nécessaire.

L'existence de la limite de la somme (3) est donc complètement démontrée.

J'ajoute qu'au lieu de la somme (3) on peut considérer d'une manière plus générale la somme

où x'i G^ y^e sont les coordonnées d'un point quelconque situé dans le rectangle («, A:); la limite est la même. En effet, /(^,' , y'^) diffère de /{^^yk) ^^ moins e, si les dimensions des rectangles sont moindres que S; les deux sommes ayant une différence moindre que

auront la même limite.

Le calcul de cette intégrale pourra s'effectuer comme il suit. Supposons, ce que l'on peut faire en général par un partage d'une aire en plusieurs autres, que la courbe C soit seulement rencontrée en deux points par une parallèle à O^ (J^g- M)- Effectuant d'abord la sommation en laissant x constant, nous avons, pour

chaque accroissement dx^

dx I f{x,

en désignant par j^i et ^2 (j'* > J'2) les ordonnées des points de rencontre avec C d'une parallèle à Oy d'abscisse x. Sommant ensuite par rapport à x^ nous aurons

^^ / fi^^y) dy,

a et A étant deux constantes qui représentent les abscisses des parallèles extrêmes à O^, rencontrant la courbe. On remarquera

que les limites j'i et^a <le la première intégrale sont au contraire, en général, des yb/ic^/o/i5 de x. On aurait pu effectuer ces sommations dans un autre ordre, mais les limites eussent été tout autres : cela eût donné pour expression de l'intégrale

/{x,y)dx,

Xi et X2 désignant les abscisses des points de rencontre avec C d'une parallèle à Oa:(^i < 0^2), 6 et B désignant les ordonnées extrêmes.

Arrêtons-nous sur le cas simple o\xf{x^y) = 1 ; on a alors Tintégrale double

fjdxcly.

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dont la valeur sera donnée par

dx j dyz=l {yt'-yx)dx.

On reconnaît là l'expression de Taire, donnée par une intégrale simple. L'aire limitée par une courbe C peut donc être considérée comme la limite de la somme des aires des rectangles élémentaires dx dy,