Soit à effectuer sur a: et j^ le changement de variables

:r=/ra, 3),

Nous supposons que cette transformation établisse une correspondance uniforme entre les points d'une aire A située dans le plan (^, J^), et une aire A' située dans le plan (a, P); on entend par là qu'à un point de A correspond un seul point de A', et inversement. Il est nécessaire pour cela que le déterminant fonctionnel

ne s'annule pas à l'intérieur de A'. Nous supposerons donc que D garde un signe invariable sans s'annuler. Soit maintenant l'intégrale

F {x,y)dx dy

étendue à l'aire A. Une question importante se présente : Par quelle intégrale étendue à l'aire A' pouvons-nous remplacer cette intégrale?

Sans nous préoccuper des limites, l'intégrale double revient, comme nous l'avons dit, à la superposition de deux intégrales simples

Jdyj¥{x,y)dx,

Au lieu de x et y, prenons a et y comme variables. La première

intégration

)dx

suppose j^ constant. Si l'on prend a pour nouvelle variable au lieu de jc, on sait que, pour avoir le nouvel élément de Tintégrale, il sufGt de remplacer dx par la différentielle de ;r en fonction de la nouvelle variable a. Or on a

et ^ est lié à a par la relation

où y est à considérer comme une constante. Nous aurons donc

avec

ce qui donne

L'intésrrale double devient alors

Laissons maintenant a constant et prenons ^ comme variable indépendante au lieu de^; nous aurons

et par suite notre intégrale se réduit à

Signalons tout d'abord une difficulté qui résulte de l'introduction, dans les calculs, du dénominateur -r^- Ce dénominateur disparaît dans le résultat final ; il y a donc lieu de penser que la didficulté

INTÉGRALES DOUBLES. Il3

n'est qu'apparente. Il en esl bien ainsi, car, -r^ et -— ne pouvant

s'annuler à la fois, nous pouvons décomposer notre aire en aires partielles où Tune au moins de ces dérivées sera différente de zéro.

Si ~ s'annule dans une de ces aires, on dirigera le calcul en introduisant d'abord ^ au lieu de a, ce qui amènera le dénominateur ^9 et la difficulté disparaîtra.

Les calculs précédents ont été faits sans que l'on se préoccupe des signes des différentielles. Or, dans une intégrale double telle que

(5) Jj¥{x,y)dxdy,

étendue à une certaine aire, dx et dy sont essentiellement positifs. Pour voir nettement comment on devra prendre l'intégrale transformée, supposons F = i; nous avons d'une part

dx dyy .y .y

et de l'autre

fj'

On a donc remplacé l'élément dxdy par D doid^. Si Ton veut que doL et d^ soient aussi à considérer comme positifs, il faudra mettre devant D dcnd^ le signe de D.

Posons e =±: i, suivant que D, qui a un signe constant, est positif ou négatif; on substituera à rfxrf)^ l'élément s Drfarfp, et dans ces conditions l'intégrale {^) étendue à V aire A sera remplacée par l'intégrale

'''F(/,cp)eDc?arf?,

étendue à Vaire A' dans le plan (a, P).

9. Le théorème précédent nous permet d^ élargir notre notion d'intégrale double; jusqu'ici, pour l'obtenir, nous avons partagé le plan en deux réseaux de droites perpendiculaires, et nous avons considéré les rectangles [formés par deux droites du premier réseau et deux droites du second. Prenons d'une manière plus générale deux réseaux de courbes a et ^ {fig* 1 5), tels que, par chaque P. — I. 8

Il4 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

point à l'intérieur d'une coUrbe C, passent une courbe et une seule du premier réseau ainsi qu'une courbe et une seule du second. Désignons par (o l'aire d'un quelconque des quadrilatères curvilignes, tels que mnpq, obtenus en traçant un certain nombre de

Fig. i5.

courbes de l'un et l'autre réseau. Soit {x^y) un point à l'intérieur du quadrilatère mnpq^ et formons la somme

Cette somme double aura encore une limite quand tous les quadrilatères curvilignes tendront vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment, et celte limite sera toujours la même intégrale double. Pour le montrer, évaluons l'aire

(6) JJdxdf,

comprise entre deux courbes a et deux courbes p. Désignons par

les équations définissant les deux familles de courbes. Quand, a restant constant, on fait varier ^, on a ce que nous avons appelé une courbe a, et de même les courbes ^ correspondent à une valeur fixe de a. Si nous substituons les variables a et ^ aux variables X e\yj l'intégrale (6) deviendra

ri\Dda(/1^;

Gopgle

INTÉGRALES DOUBLES. Il5

donc l'élément de surface co compris entre les courbes a, a -i- rfa et les courbes p, ^ -+- rf^ est égal à eDrfarf^, et la limite de la somme S n'est autre chose que

c'est-à-dire

Jj¥{x,y)dxdy,

cette dernière intégrale étant étendue à l'aire limitée par C.

10. Comme exemple de changement de variables, substituons aux coordonnées rectangulaires des coordonnées polaires. Les formules de substitution sont

a7 = pcos6, ^ = psinO.

Les courbes p = const. sont des cercles et les courbes 8 = const. des droites issues de l'origine. Calculons le nouvel élément eD rfp rfO qui devra remplacer dx dy. On aura ici D = p, e = i , el, par suite,

J^Jdxdy=JJpdpdii.

Supposons qu'étant donnée une courbe C on ait à calculer l'aire d'un secleur compris entre le rayon fixe OAo, le rayon variable OA et la courbe. On étendra l'intégrale / / p dp d^ à l'aire de ce secteur; l'aire cherchée sera donc

Appliquons, avec Poisson, la même transformation à l'intégrale double

f Ce-'*-)' dx df = r Ce-?'pdp dO.

Étendons d'abord cette intégrale au carré de centre O dont les côtés sont parallèles à Ox et Oy et égaux à 2a. Nous aurons ainsi T intégrale

]l6 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

Si l'on étend cette intégrale au cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, elle sera égale, en se servant des coordonnées polaires, à

f dp f e-p'pe/e = it(i-e-R').

Or l'aire du carré considéré est comprise entre l'aire du cercle de rayon a et celui de rayon ay/â; par suite,