III. — Applications. — Volumes et surfaces
11. Comme exemple de transformation d'intégrale double, et pour trouver en même temps une formule importante, j'envisage l'intégrale
étendue à l'aire limitée par une courbe fermée C. Prenons d'abord la première intégrale
nous pouvons effectuer une première intégration et l'écrire
f dx[P{y^,x)-P(y,,x)]
si nous supposons, uniquement pour simplifier le langage, qu'une parallèle à l'axe des y, répondant à l'abscisse x^ rencontre la courbe seulement en deux points de coordonnées y^ et yaiyt <C J^a)? et si a et A(a < A) désignent les abscisses extrêmes des ordonnées rencontrant la courbe. Or, si nous considérons l'intégrale curviligne
fpdx,
prise dans le sens positif, on aura
fpdx= f [P(yux)-P{y.,x)]dx.
Nous avons donc
Un calcul analogue montre que
d'où IdL formule fondamentale (\Me nous voulions obtenir
l'intégrale curviligne étant prise dans le sens positif (§6, Ch. III). On peut tirer de cette formule la condition pour que r intégrale curviligne, qui figure au second membre, soit nulle le long de tout contour fermé; l'intégrale double du premier membre doit, dans ce cas, être nulle, quand on Tétend à une aire quelconque, ce qui entraîne
dy ~~ dx
condition que nous avons obtenue précédemment.
Faisons une application très particulière de la formule fondamentale, en faisant d'abord P=y, Q = o, puis P = o, Q=:^; nous obtenons ainsi
j j dxdy\-— 1 ydx, I j dx dy = j xdy\
et par suite
/ I dx dy = - I X dy — y dxy
ce qui nous donne Vaire limitée par la courbe C, au moyen d'une intégrale curviligne étendue à cette courbe, et prise dans le sens positif. Ainsi, par exemple, si la courbe G se réduit au périmètre d'un triangle dont les sommets ai, a2, a^ aient pour coordonnées
Il8 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
(^,,^4), (Ti^y-j), {jTz^yz)-) l'aire A du triangle sera donnée par la formule
ce déterminant représente, en effet, l'intégrale curviligne prise positivement le long du périmètre du triangle, si, en le parcourant dans ce sens, on rencontre les sommets dans l'ordre ^1, ^2, ^3.
12. Donnons maintenant la définition des volumes limités par des surfaces.
Étant donnés trois axes de coordonnées rectangulaires, Ox, Oj, Ozj on considère une surface représentée par Téquation 5=/(ar,^), et dans le plan J:0y une aire A limitée par une courbe C. Construisons un cylindre parallèle à O:; et ayant pour directrice C; ce cylindre coupe la surface suivant une certaine courbe fermée. Le volume à définir est le volume limité par le cylindre, la surface et le plan xOy. Découpons, comme précédemment, Taire A en quadrilatères curvilignes au moyen de deux fajnilles de courbes a et p, et soit <o Taire de Tun quelconque de ces quadrilatères; prenons dans ce quadrilatère un point (Ç, 7|); à ce point correspond sur la surface un point par lequel je mène un plan parallèle au plan des xy. Le volume cylindrique limité par ce plan, celui des xyei la surface du cylindre parallèle à O;; ayant pour directrice le périmètre du quadrilatère curviligne co, sera *»^/(Çî TT)). La somme de tous ces éléments
a une limite qui sera le volume cherché. Si Ton emploie a: et y comme variables sommatoires, ce sera^Tintégrale double
/(x,y)dxcfy,
étendue à Taire A.
On passe de là à la définition d'un volume fermé limité par une surface quelconque : il suffit de le considérer comme une somme algébrique de volumes analogues au précédent.
Soit comme exemple l'équation z = -^, ^ui représente un pa-
raboloïde hyperbolique langent au plan xOy à l'origine. Si l'on prend les plans x= a, x = A et y = b^ y = B, le volume limité par la surface, le plan des xy et ces quatre plans sera
13. Comme autre application de la notion d'intégrale double, nous définirons Vaire d^ une surface courbe.
Soit encore z=f{x^ y) l'équation d'une surface. Sur cette surface nous considérons une courbe fermée C qui en limite une partie. Que doit-on entendre par l'aire de cette portion de surface?
Projetons la courbe C sur le plan xOy suivant une certaine courbe c, et traçons dans ce plan les deux familles de courbes dont nous avons déjà fait bien souvent usage : soit co l'aire d'un des quadrilatères curvilignes élémentaires. Concevons le cylindre parallèle à O5 et ayant pour directrice le périmètre de co : il découpe sur la surface une petite courbe fermée û; à l'intérieur de Taire limitée par û, je prends sur la surface un point arbitraire (Çi ''l» O? et je mène en ce point le plan langent à la surface.
Ce plan coupe le cylindre suivant une courbe enveloppant une
aire ir. Faisons maintenant la somme \^7z de toutes ces aires
planes élémentaires : il est aisé de voir qu'elle tend vers une limite. Désignons, en effet, par ¥{x^y) le cosinus supposé positif, par le choix d'un sens convenable, de l'angle de la normale à la surface au point {x,y^ z) avec Oz. On aura
puisque ii et co sont des aires planes. Nous devons donc évaluer
qui aura une limite si, comme nous l'admettons, il n'y a pas, dans la portion considérée de la surface, des points où le plan tangent soit parallèle à l'axe des z. On pourra représenter cette li-
mite par l'intégrale
r r dxdy
étendue à Taire c, dans le plan des xy. En introduisant les dérivées partielles
dz d.
on aura
et par suite l'aire sera représentée par l'intégrale double
/ j ^i-^p^-^q*dx dy.
Soit, par exemple, à calculer dans une sphère ayant pour centre
l'origine et pour rayon R l'aire de la zone limitée par un cercle
de rayon r, parallèle au plan des a:y et inférieure à la demi-sphère.
Nous nous servirons des coordonnées polaires p et 0 dans le plan ;
on aura alors
u) = p rfp û?6 ;
et le cosinus de la normale, c'est-à-dire du rayon, avec Oz sera
- — rz — ^- Nous devons calculer
r rRpdpdfi
8 devant varier de o à 211, et p de o à r : on aura donc
aTiR r -— L^L= = 27rR(R— v^R«— rO = 9.7:R//, Jo /R«— p*
en désignant par h la hauteur de la zone.
14. Nous désignerons souvent, dans la suite, sous le nom d^élément de la surface^ l'aire plane élémentaire tt. On a
co = 7î cosY,
en désignant par y l'angle de la normale à la surface avec l'axe des s. Les lettres <o et -tt ont représenté essentiellement jusqu'ici
des aires positives; la formule précédente suppose donc que y désigne un angle aigu. Si dans le plan des œyon emploie les variables :r et ^, co est égale à dxdy\ quant à tt, nous le représenlerons souvent par d<j pour marquer qu'il représente un élémen t de surface ; nous pouvons alors écrire
dx dy — cos^{ dsj
les éléments da et dxdy étant, je le répète, des quantités posilives. Nous maintiendrons sans exception cette règle pour dz\ il n^en sera pas de même pour dx dy^ comme nous allons le voir dans un moment en étendant encore le point de vue sous lequel nous envisageons les intégrales doubles.
Mais, auparavant, cherchons l'expression de d(s dans le cas où la surface est représentée par les trois équations
u et !-• désignant deux paramètres arbitraires.
Pour bien préciser, nous supposerons que, quand le point (u, v ) décrit dans son plan une certaine aire S, le point (^,^, z) décrive la surface S de telle sorte que les aires S et S se correspondent uniformément. L'aire est représentée par
en prenant dx dy positivement et cosy positivement. Or, d'après la théorie du changement de variable, nous avons
, , l ùr dy dx dy\ , , li{x, v) , ,
-^ \du ôv âv du/ D(a, v)
en employant une notation souvent adoptée pour le déterminant fonctionnel et en prenant pour s les valeurs =bi, de telle sorte que le second membre soit positif. D'autre part, les cosinus directeurs de la normale à la surface sont proportionnels à
La valeur de cosy, prise posllivemeiil, sera donc
le radical élant pris positivement. Nous aurons, par suite, en substituant,
V Lt>("»^)J Ld(",i^;J Li>("»^)J
et la surface sera alors représentée par l'intégrale double
"> ff\/mïFïmFmiï' ■''-'■
étendue, dans le plan (;/, v), à l'aire S.
Cette formule a une généralité que n'avait pas la formule (7). Elle est applicable même dans le cas où, en certains points de la surface envisagée, le plan tangent serait parallèle à O^. Elle définit par conséquent, dans tous les cas possibles, l'aire limitée sur une surface par une courbe fermée : on peut, en effet, toujours découper cette aire en portions assez petites pour établir une correspondance uniforme entre chacune d'elles et une aire S dans le plan (w, p).
Il est intéressant de vérifier que l'expression trouvée pour Taire d'une surface est indépendante du système d'axes de coordonnées employées. La vérification sera immédiate sur la formule (8). Soient
y= bX-hb'Y -hù"!, zr-. cX~^ c'Y-^ c"!
les formules de transformation de coordonnées; on pourra regarder X, Y, Z comme des fonctions de w et p : les déterminants
fonctionnels
D(r,-3) D(z,x) D(x,y) D(u,vy D{u,v)' D(a,r)
s'expriment à l'aide de
comme x^ y, z k l'aide de X, Y, Z. On voit donc que la somme des carrés de ces irois déterminants fonctionnels reste invariable. On peut donner à la formule (8) une autre expression, en inlroduisant les coefficients qui se présentent quand on forme le carré de l'arc élémentaire joignant le point (w, v) au point { « + rfw, V H- dv) de la surface. On a
ds^ - dx^-h dj'^-h dz^ = (-- du-h — dvj
ce que l'on peut écrire
ds^ = E du^ -f- 9. F du dv-hG dv'*-. on posant
~~ du Os? Ou c?i' du dv
^ /dxy (dyy fdz.'i
Or, si l'on considère la somme
(ây dz dy dz\^ fdz dx âz âT\^ làx ùy dx ày\^ ôv du du dv ) \dv du Ou dv ) \dv du du dv )
on voit immédiatement (identité de Lagrange) qu'elle se réduil à
EG — F«, el la surface est alors représentée par l'intégrale double
r r^/EG—t^^dudv.
