IV. — Définition des intégrales de surface
i5. Nous avons généralisé précédemment la notion des intégrales simples définies, en étudiant les intégrales curvilignes. ^ous allons pareillement définir les intégrales doubles étendues à une surface.
Quelques remarques sur les surfaces nous sont indispensables. Soit une portion de surface S limitée par une ou plusieurs courbes ; on la suppose telle qu'on puisse distinguer sur elle deux côtés différents : l'un de ces côtés, par exemple, peut être peint en rouge, l'autre en bleu, et l'on ne peut passer d'un point de l'un à un point de l'autre d'une manière continue sans traverser les courbes limites (*). En un point P de l'un on fixe sur la normale une direction déterminée, et la direction opposée au point correspondant P' (qui coïncide géométriquement avec P) de l'autre. La direction de la normale en chacun des points de l'un et de l'autre côté se trouve alors déterminée sans ambiguïté si le point P ou le point P' se déplacent, sur les côtés correspondants, entraînant avec eux la direction choisie de la normale, qui varie d'une manière continue.
Considérons, par exemple, le cas simple d'une portion de surface que rencontre seulement en un point toute parallèle à l'axe Oz. On pourra sur cette surface distinguer deux côtés : si l'on associe à un point P de l'un la direction de la normale qui fait un angle aigu avec Oz, et au point correspondant P' de l'autre la direction opposée qui fait un angle obtus, ces deux angles varieront respectivement d'une manière continue en restant l'un aigu, l'autre obtus, quand les points P et P' se déplaceront sur leurs côtés respectifs; ils suffiront par conséquent à les distinguer.
Soient maintenant C{x,y^z)une fonction dex^y, z et une surface S, :; = '^ (x,y), limitée par une courbe L, que je supposerai d'abord n'être rencontrée qu'en un point par une parallèle à Oz] L se projette sur xOy suivant une courbe /. Formons l'intégrale double
(9) Jj^C(,x,y,z)dxdy,
(') 11 existe cependant des surfaces sur lesquelles on ne peut distinguer deux côtés. On en réalisera facilement une de la manière suivante : Que l'on prenne un rectangle de papier abcd^ dans lequel je suppose que ab et cd désignent deux côtés parallèles, de telle sorte que a et d, ainsi que b etc, désignent des sommets opposés. On contourne la feuille de papier de telle sorte que ab vienne coïncider avec c/c, en faisant coïncider par conséquent les sommets opposés. On réalise ainsi une surface limitée par un seul contour et qui n'a qu'un côté. De telles surfaces sont exclues des considérations qui vont suivre.
étendue à l'aire /, en supposant que z soit remplacé par sa valeur en fonction de x ely. Cette intégrale a un sens précis quand le contour L et la surface z = o (oo^y) passant par ce contour sont donnés. Introduisons les éléments rfo* de la surface; pour cela, remplaçons dx dy par cosy da. L'intégrale (9) devient alors
(10) j I C{Xyr,z)cos-{ di.
Cette dernière forme a une généralité que n'avait pas la première. Pour l'obtenir, nous avons supposé qu'à une valeur de x et y ne correspondait qu'un point de la surface; dans cette hypothèse, cos Y gardait sur Taire envisagée un signe invariable, et c'est en supposant cos y positif que nous avons pu remplacer dx dy par cosYdo-. L'intégrale (9) ainsi comprise, en restant dans l'ordre d'idées où nous nous sommes jusqu'ici placé, sera dite prise sur la sur/ace S, du côté de la surface où la normale, considérée comme demi-droite, fait avec l'axe des z un angle aigu. Mais, comme nous l'avons dit, sur notre surface S nous pouvons envisager le second côté pour lequel ici la normale, considérée comme demi-droite, fait un angle obtus avec Oz : l'intégrale (10) a toujours un sens précis; nous dirons alors qu'elle représente l'intégrale (9) prise sur le second côté de S.
La définition s'étend d'elle-même. Quels que soient la surface que l'on envisage et le côté que l'on considère sur elle, l'intégrale (10) aura pour lui un sens parfaitement déterminé en mettant pour cos Y le cosinus de l'angle fait par Oz et la direction de la normale correspondant à ce côté. On dira que cette intégrale (10) ainsi prise représente l'intégrale (9) étendue au côté considéré de la surface. Il y a là, comme on voit, une extension de la notion d'intégrale double, car, dans l'intégrale (9) ainsi généralisée, l'élément dx dy n'est plus nécessairement positif.
Dans l'intégrale (9), l'élément d'intégration était dx dy; on peut de même considérer des intégrales telles que
JjK{x,y,z)dydz et J Jb {x,y,3) dz dx étendues à un côté déterminé d'une surface et dans lesquelles
l'élément d'intégration est dy dz ou dzdx. Elles seront représentées respectivement par
j j X(T,y,z) cos%d<j et / / B(x,y,z)cos^di,
où a et ^ désignent les angles faits par la direction de la normale correspondant au côté choisi avec les axes des x et des y.
En faisant la somme des trois intégrales précédentes, on a encore une intégrale de sur/ace
(il) f I Adydz-hBdzcix-hCdxdjr
qui est souvent employée. On peut l'écrire sous la forme / / (A cosa-h Bcosp -4- GcosY)t/cj.
16. Il est important d'avoir l'expression de l'intégrale (i i) quand on exprime Xy y, z en fonction de deux paramètres u et r, comme nous l'avons l'ait au paragraphe 14. En se reportant à l'expression trouvée pour rfo-, et en se rappelant que cosa, cos^, cosy sont proportionnels aux déterminants fonctionnels
ces cosinus sont déterminés, au signe près : on prendra un signe ou l'autre, suivant lecôlé envisagé de la surface. L'expression (i i) est donc égale à
ou à cette intégrale changée de signe, suivant qu'on prend un côté ou l'autre de la surface. Cette intégrale double est une intégrale définie ordinaire, étendue à Taire S, dans le plan [u^ p) [voir § 14) qui correspond uniformément à S.
I!<TÉGRALES DOUBLES. 127
V. — Condition pour que l'intégrale de surface f f\ djrdz-hU (h clx -f- C dx dy
ne dépende que du contour.
17. Nous pouvons nous proposer, sur les intégrales de surface, une question analogue à celle que nous avons résolue (Chap. III, § 3) pour les intégrales curvilignes. A quelle condition l'intégrale de surface
1 ^ r Cx dy dz -^-BdzdT-^C dr dy
dépendra-t-elle seulement du contour limitant la surface à laquelle elle est étendue?
Nous supposons que, pour une surface S, les coordonnées a:, y, z soient exprimées, comme il a été dit, en fonction de deux paramètres u et V. Nous avons alors pour l'intégrale l'expression (12). Or, considérons une famille de surfaces ayant la même limite et dépendant d'un paramètre arbitraire a; pour ces surfaces, nous concevons que Xj y, z soient exprimées par des fonctions de w, v et du paramètre a. Chaque valeur de a détermine une portion de surface qui correspond à l'aire S dans le plan (w, v)^ et Ton peut choisir évidemment ces fonctions de manière que la courbe correspondant au périmètre de S ne dépende pas de a, et soit, par suite, la même pour toutes les surfaces. De plus, nous admettons que les limites entre lesquelles on fait varier a sont telles que, dans tout l'espace balayé par les surfaces correspondantes, les fonctions A, B, C et leurs dérivées partielles du premier ordre restent continues.
Calculons la variation de I, en réservant comme précédemment
la lettre 8 aux variations, c'est-à-dire aux différentielles prises par
rapport à a.
La variation de
sera égale à
ia8 INTÉGRALES SIMPLES ET HILTIPLES.
OU, en développant, à
^ J J \^ àu dv du ov ov ou av ou J
La seconde intégrale peut être transformée au moyen d'intégrations par parties : ainsi Ton a
en se rappelant que la variation de By est nulle sur le bord; et chacune des intégrales qui composent le second terme de (i3) peut être transformée de la même manière. Remplaçons ensuite, en développant les calculs,
dX dx dX dy dX dz
par
du
dx du dy du dz du
et pareillement pour — : l'expression (i3), après des réductions qui se font d'elles-mêmes, se réduit à
r rdK\Xi(y,z) ^ D{z,x)^ T^{x,y)^^, .
Finalement, après des calculs analogues pour les deux autres intégrales qui forment I, nous obtenons
J J Idx dy dzJlDi^u.v) D(M,i^)-^ l>(u,v) J
Or, 81 doit être n ulle , et, comme les signes des variations 8^, 8^, oz sont arbitraires^ il en résulte que l'on doit avoir identiquement
, ,, dX dB dC
dx dy dz
Cette condition nécessaire est en même temps sufGsante. Nous formerions en effet, étant données deux surfaces ayant même contour, une famille de surfaces avec ce même contour et dépendant d'un paramètre a, et dont feraient partie ces deux surfaces;
INTÉGRALES DOUBLES. 12g
et le mode de raisonnement employé au § 5 (Chap. III) est encore applicable.
Sans qu'il soit nécessaire d'insister et en se reportant toujours aux intégrales curvilignes, on voit que nous pouvons énoncer le théorème suivant :
La relation (i 4) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que V intégrale I, étendue à une surface fermée, à V intérieur de laquelle A, B, C et leurs dérivées partielles du premier ordre sont continues, soit égale à zéro,
18. Tl suffira aussi d'énoncer les conséquences immédiates de ce théorème. Si une surface feripée S contient à son intérieur des points où les fonctions A, B, C cessent d'être continues, Tintégrale étendue à cette surface ne sera pas nulle en général, mais elle gardera une valeur constante quand on déformera la surface sans lui faire traverser aucun de ces points singuliers.
Je prends, comme exemple, l'intégrale
