Nous venons de voir que l'intégrale de surface
Kdy dz-^B dzdx-\-Cdx dy^
ff'
étendue à une surface limitée par un contour L, ne dépendait que de ce contour, quand la condition
dk dB âC
dx oy Oz
était satisfaite. On peut dans ce cas mettre l'intégrale double sous la forme d^une intégrale curviligne prise le long du contour L.
Montrons d'abord que, étant données trois fonctions satisfaisant à r identité précédente, on pourra trouver trois fonctions a, p, y de Xj y^ z telles que
^ ' dz ôy ox ôz Oy àx
Prenons, par exemple, y =: o ; nous satisferons aux deux premières équations en posant
«= -/ B{x,y,z)dz, M/ P^{JO,y,z)dz-^^{x,y),
;:o désignant une constante numérique et '^ étant une fonction arbitraire de X et y. En portant ces valeurs dans la troisième équation, il vient, en se servant de Tidcntilé (i5),
■^-hC{x,y,Zo)= o,
et l'on pourra, par une quadrature, déterminer une fonction o {x^y ) satisfaisant à cette équation. Il est clair d'ailleurs que, si ai, pi, yi désignent une solution particulière des équations (16), la solution la plus générale sera donnée par
F étant une fonction arbitraire de x^y^ z.
INTÉGRALES DOUBLES. • l3l
Nous avons alors à considérer des intégrales de surface de la forme
De telles intégrales se rencontrent dans plusieurs théories importantes de Physique mathématique. On peut exprimer cette intégrale au moyen de V intégrale curviligne
(i8) foLdx-^9dy-+--(dz,
prise le long du contour L.
11 importe de bien définir le sens dans lequel sera prise celte intégrale curviligne. L'intégrale (17) est étendue à un côté déterminé de la surface S. A chaque point de S correspond une direction de la normale; traçons autour de P un élément de surface limité par le contour tc. Le sens direct sur le contour tt sera le sens de gauche à droite pour un observateur placé sur la normale, ayant les pieds en P et la tête dans la direction de cette nornaale. Supposons maintenant que le point P soit voisin du contour C et qu'une partie du périmètre tc appartienne à ce contour. Un sens déterminé se trouvera alors fixé sur celui-ci, et ce sens sera évidemment toujours le même, de quelque partie du contour que se rapproche le point P. Nous allons montrer que, le sens sur L se trouvant ainsi fixé, les intégrales (17) et (18) sont égales et de signe contraire, si le sens de rotation du trièdre (Oaryz) est direct ( * ).
20. Démontrons d'abord le théorème dans le cas où le contour G est plan; on passera ensuite immédiatement à un contour quelconque. Nous allons simplement faire un changement de coordonnées, en prenant un nouveau système d'axes (ÛXYZ) de
(«) Un trièdre {Oxyz) où l'ordre de permutation circalaire des arêtes est donné a son sens de rotation direct, quand un observateur placé sur une quelconque des arêtes, les pieds en G, voit Taréte suivante coïncider avec la troisième aa moyen d'une rotation d'un angle droit en tournant dans le sens direct de b Cinématique, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, ou encore, de gauche à droite.
l32 . INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
même sens de rotation que le premier et tel que le plan Z = o soit le plan de la courbe plane C. Supposons qu'on intègre sur le côté du plan correspondant à la direction de Taxe ÛZ; le sens direct sur la courbe C sera alors le sens de OX vers OY, c'est-à-dire le sens positif tel que nous l'avons défini (Gh. III, §6). Si a'\ 6", c" désignent les cosinus directeurs de ûZ, l'intégrale double (17) peut s'écrire
d'autre part, les formules de transformation de coordonnées
donnent
X = aX ^- a'Y -ha'Z H-/?,
z = cX4-c'Y-4-c''Z-h/-, et l'on sait que
c" = ab'— ba', a" = bc'— cb\ b" = ca! — ac\ Comme dL = o, l'intégrale curviligne se réduit à
r (aa -4- 6? -f- CY)rfX -h (a'a -4- 6'P -i-c'y) ^Y, */c
qui, d'après une formule démontrée plus haut (§ H), est égale à
cette intégrale étant étendue à l'aire L. Il faut calculer les dérivées partielles par rapport à X et à Y de a, ^, y, qui sont des fonctions de x^ y^ z. On aura
àa. doi dx , âa âa doL , àa , , doL ,
âX àx dy dz âY dx dy dz
et des formules analogues pour p et y. Par suite
INTÉGRALES DOUBLES. l33
et la formule
est établie, dans le cas où la courbe est plane.
21. Il est aisé maintenant de passer au cas où le contour est quelconque. Tout d'abord on peut réduire ce contour à être un contour polygonal, puisqu'il sufûrait d'augmenter indéfiniment le nombre des côtés du polygone pour avoir une courbe quelconque. On peut ensuite par ce contour polygonal faire passer une surface polyédrale dont les faces soient des triangles. En appliquant la formule démontrée pour le cas des aires planes à chacun de ces triangles et, ajoutant les résultats obtenus, on aura évidemment la formule cherchée, qui est alors démontrée dans toute sa généralité, et que les géomètres anglais désignent sous le nom de /ormule de Stokes (*).
Une application immédiate de cette formule est la recherche des conditions pour que l'intégrale curviligne
/ oidx ->r ^dy -^ Y^^»
prise le long d'une courbe fermée quelconque, soit nulle, problème tout à fait analogue à celui que nous avons traité dans le cas du plan. Les conditions nécessaires et suffisantes sont
()y '^ àx^ Oz ^ dy dx ~~ dz
Sî elles sont remplies, l'intégrale curviligne
Oidx ->r ^ dy -^ ^ dz
( < ) La formule précédente, au moins dans un cas particulier, était connue d'Ampère, qui s'en est servi, sous une autre forme, en Électromagnétisme.
l34 INTÉGRALES SIMPLBS ET MULTIPLES.
sera une fonction u de x^ y et .s, et l'on aura
du ^" Q ^^ __
22. Pour faire une seconde application de la formule de Stokes, considérons une courbe fermée L et un point M quelconque de coordonnées a, 6, c dans l'espace. Soit une surface quelconque S limitée par L, et sur laquelle nous considérons deux côtés. Un élément rfo- de cette surface est vu sous un angle égal à
cosfr. n ) .
en appelant r la distance du point M à un point P(x, J^, z) de l'élément, et en appelant (r, n) l'angle fait par la direction PM avec la direction de la normale en P à la surface. Ainsi compté, cet angle solide est positif ou négatif suivant que l'angle (r, n) est aigu ou obtus. Or, en désignant par cosa, cosj3, cosy les cosinus des angles de la normale avec les axes, nous aurons
fi ~-~" or u ■ y c ~~ z cos(r, n) = cosa n cosB h cosy.
La somme des angles solides pour tous les éléments d^ de S sera donc
('9) I =Jj (^7?^ cosa -f- -=^ cos p -f- ^—^ cosYJ ûfj.
Ce sera donc une intégrale de surface étendue à S, et elle sera indépendante de S, car on a
àx\ r» )'^ày\ H )'^'ôi\ r^ / ^ [r^ = {x — aY-\-{y -^ by-^{z - cy-].
On peut dire qu'elle représente l'angle solide (compté avec un signe) sous lequel du point M on voit le contour C.
Cherchons d'abord, avant d'appliquer la formule de Stokes, quelle sera la valeur de l'intégrale (19) étendue à une surface fermée. Si le point (a, 6, c) est extérieur à la surface, celte intégrale sera nulle d'après le théorème fondamental (§ 17). Sup-
INTÉGRALES DOUBLES. l35
posons (a, b, c) à Fintérleur de la surface, et intégrons sur le côlé interne de celle-ci. L'intégrale est indépendante de la surface; prenons donc une sphère de rayon R ayant (a, 6, c) pour centre; l'intégrale devient
On a donc
'cos(/", n) di
fp
résultat bien simple, mais dont Gauss a tiré d'importantes conséquences. Comme nous le verrons ultérieurement la démonstration géométrique est d'ailleurs immédiate.
Revenons maintenant à l'intégrale T étendue à une surface S limitée par un contour C. D'après la formule de Stokes, on peut la remplacer par une intégrale curviligne prise le long de C. Cette transformation serait compliquée et présenlerait peu d'intérêt. Ce qui est au contraire d'une grande utilité dans diverses théories, et en particulier dans l'Électromagnétisme, c'est d'exprimer les dérivées partielles de I, considéré comme fonction de a, b et c, par des intégrales curvilignes. Nous allons y parvenir immédiatement au moyen de la formule de Stokes.
Prenons, par exemple, la dérivée partielle de I par rapport à a, nous aurons
Nous devons chercher des fonctions a, p, y de x^y^ z telles que
^ ^ - J^ /a^-£\ dz dy^da \ r^ )'
^Y ^* à / b — y\ dr dz ^ da\ r^ / '
^ — ^? - A (^^A\ dy dx " da\ r^ /
Or, prenons a = o; nous devons choisir, s'il est possible, ? et y de manière à satisfaire aux équations
ày 3(b-y){a — x) ^^ 3(c-z)(a — x)
dx r» ' àx r»
l36 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
et
dz dy ~~ r' /•*
Ces équations seront vérifiées si Ton prend
et, par suite, Tintégrale curviligne
— / a dx -h 'à (ly -h ^( dz
/c se réduira ici à
-(z — c)dy—(y — b)dz r3
On trouverait de la même manière
âh X
à\ r{y — b)dx — {x-'a)dy
àl fi de L'
formules d'un grand intérêt dans la théorie du Magnétisme ( * ).
VII. — Racines communes à trois équations. — Formule donnant le nombre des racines communes à deux équations contenues dans un contour.
23. Nous ferons encore une application de la théorie des intégrales de surface, en cherchant une intégrale qui soit à rapprocher de l'intégrale curviligne étudiée au § J 1 (Chap. III). Prenons, à cet effet, trois fonctions continues F^^x^y, z), F2{x, y, z)^ F,^^, y^ z) des variables x, y, z, développables, dans le voisinage de toute valeur Xo,yo^ Zq que nous aurons à considérer, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x — ^o>J^' — JKo- et z — Zo' Je forme l'intégrale de surface
I = -^ C Çk dydz-hBdzdx-^C dx dy,
(*) On trouvera d'intéressantes applications géométriques de la formule de Slokes dans un Mémoire de M. Kœnigs {^Journal de Jordan, 1889).
OU
Fi
dz
ày
dF, àz
ày
dF,
(Fî+Fl Fi
ÔF^
dz
dF^ dz
àF, dz
dFi dx dF^ dx dFj dx
(Ff.
Fi F, F3
Fî)'
dFx dFj^
dx dy
dF^ dFj,
dx dy
àJl à Fz
dx dy
(Fî + F| + Fî)«
Quelles que soient les fonctions F4,F2,F3, on aura l'identité
d\. dM dC dx dy dz
comme le montre un calcul un peu long, mais ne présentant aucune difficulté.
L'intégrale I étendue à une surface fermée ne change donc pas de valeur quand on déforme la surface S d'intégration sans rencontrer de points où A, B, C cessent d'être continus. Il en résulte que l'intégrale I sera nulle, s'il n'y a pas de racines communes aux trois équations
Fi(^,r»-) = o»
Fï(a:,j^,-5)^o, F8(a7,^,^)=^o à l'intérieur de S.
Supposons maintenant qu'il y ait à rinlérieur de S un point P correspondant à une racine commune aux trois équations. Au lieu de calculer I en intégrant le long de S, nous pouvons intégrer le long d'une surface quelconque entourant le point P. Or prenons ce point pour origine et développons F«, Fj, Fs d'après la formule de Taylor,
Fs(^, r» - ) = «s ^ -+- ^3 r ^- ^3 2 ^-
On montre, comme dans le cas de deux équations, que l'intégrale ne change pas de valeur, quand on réduit F|, F2, Fj aux termes du premier degré. L'intégrale 1 devient alors
^^Jfua
X dy dz -t- y dz dx -+- z dx dy
en posant
[{a^x -h />! v-r Ci5)'-i- {atx ■+- biy-^CtZ)^-^{a^x -h b^y-\- Cj «)*]'
I «I b^ r, j I «3 ^3 Cl I
D est supposé différent de zéro et représente la valeur du déterminant fonctionnel
àx dy dz
dVt àV^ dVt
dx dy dz
dj^ d¥j d?j\
dx dy dz \ au point P.
Pour calculer 1, prenons comme surface d'intégration l'ellipsoïde
(a, a:-»- b^y ->(- c,;;)*-h (aj t -f- Z»j j^ -h Cj5)« -HCa^ar -h b^y -^ c^z^ — 1.
En désignant par a, p, y les angles faits par la normale extérieure à cette surface avec les axes, nous avons
\ = '— I I {xcos%-hy cosP-hzcosf)d(Ty
IMTÉGRALBS DOUBLES. iSq
OU, en appelant r le rayon vecteur allant du centre de rellipsoïde à l'élément rfo-, et o l'angle aigu fait par le rayon vecteur avec la normale,
I = — - / / /• coscp dd.
iT^J J ^
Mais l'intégrale double, qui figure dans le second membre, est égale à trois fois la somme des pyramides élémentaires de sommet P et de base d<j, et par conséquent égale à trois fois le volume de rellipsoïde. Or celui-ci, comme on le reconnaît aisément, est égal à
ÏD"' .
I D I désignant la valeur absolue de D. Nous aurons donc
D'où le résultat suivant, entièrement semblable à celui que nous avons obtenu dans le cas des deux équations :
U intégrale I est égale à la différence entre le nombre des racines contenues dans S, pour lesquelles le déterminant fonctionnel
dYx dVx <JFi
dx ôy ôz <?Fj <^Fi ()Fi
ôx dy âz
dFa âFj dFa dx dy âz
est positif, et le nombre des racines pour lesquelles ce déterminant est négatif.
Le théorème précédent a été donné par M. Kronecker, sous une forme différente, dans ses éludes sur les systèmes de fonclioDS de plusieurs variables {Monatsberichte der Académie der Wissenschaften zu Berlin, 1869); il peut être étendu à un nombre quelconque d'équations.
l4o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.
24. Nous avons donné au Chapitre III, § 11, une formule relative aux racines communes à deux équations contenues dans un contour^ celte formule ne résolvait pas la question de recherche du nombre des racines communes à deux équations contenues dans un contour. C'est cette question que nous allons maintenant résoudre ( * ).
Soient deux équations
ayant à l'intérieur d'un contour C un certain nombre de racines simples, c'est-à-dire pour lesquelles le déterminant fonctionnel
âx dy ùy ôx
n'est pas nul. Je considère le système de trois équations
aux trois inconnues x^y^ z. J'envisage dans l'espace à trois dimensions (or, jKj ^) l'ensemble des valeurs de ces variables correspondant à des points {x,y) contenues dans C, et à des valeurs de z comprises entre — e et H- e (e désignant une constante positive arbitraire). Cet ensemble définit un domaine A, et le nombre des racines du système S, correspondant à des points de ce domaine, sera précisément le nombre des racines du système S contenues dans C. Or le déterminant fonctionnel des trois fonctions formant les premiers membres des équations 2 se réduit à la quantité positive
La difficulté relative au signe du déterminant fonctionnel a donc disparu^ et Ton pourra,* par suite, représenter par une intégrale double le nombre des racines communes aux équations S contenues dans C.
(* ) E. Picard, Journal de Mathématiques y 189a {Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées).
INTÉGRALES DOUBLES. l4r
25. Effectuons complètement le calcul. La surface d^ intégration se compose de la surface latérale d'un cylindre et de ses deux bases. Calculons d'abord la partie de l'intégrale relative à la surface latérale du cylindre. En prenant les notations du n*' 23, elle se réunira à l'intégrale
A dv dz -\-B dz dx.
D'une manière générale, on a
dy dz = dfs cos a, dz dx = d^ cos p,
rfcr désignant l'élément positif de la surface, a et p les angles de la normale extérieure à la surface avec les axes. Ici nous pouvons prendre pour a et p les angles de la normale extérieure à la courbe C avec les axes O^ et Oy^ et Ton a
d(5 = ds dz^
ds étant l'élément d'arc de C, et dz étant positif. Nous aurons donc pour l'intégrale précédente.
( A cos a -h B cos ^)ds dz,
mais, sur la courbe C,
dx — — <f5cosp,
dy =^ ds cos a.
Nous pouvons, par suite, écrire l'intégrale sous la forme
Ç f{Xdy — Bdx)dz.
et Ton a
en désignant toujours par D le déterminant fonctionnel
à/ dr^ df à^ dx dy dy dx
Il en résulte que, dans l'évalualion du nombre des racines, la portion de l'intégrale double provenant de la surface latérale du
cylindre se réduit à Piotégrale curviligae, prise dans le sens positif le long de G,
où
Tp dx -i- Q ûÇx
L'intégrale qui figure dans P et Q peut s'obtenir immédiatement; on trouve ainsi
.dp df
\ '^ dx ' àx De
•> ^r /"S x mî 1 '
.ào ()f
De
Dï£')î
Passons à la portion de l'intégrale relative aux plans de base du cylindre. Us donnent l'intégrale double étendue à Taire limitée par G
où
