DES INTÉGRALES MULTIPLES

I. — Définition et propriétés fondamentales des intégrales multiples.

1. D'une sommation double, on passe tout naturellement à une sommation d'un ordre n de multiplicité étendue à n variables. Prenons d'abord le cas de trois variables Xj y^ z et considérons x^ y^ z comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace. Nous menons trois systèmes de plans respectivement parallèles aux plans de coordonnées. Ce réseau de plans découpe l'espace en parallélépipèdes rectangles. A chaque point (^i,^^, 2/), nous associons le parallélépipède ayant pour côtés les expressions positives {xi^ — x/), (jKa+i — ^a), {^i^\ — ^i)* Soient maintenant un volume V et /(a:, y, 5) une fonction continue de :r, y, ^; je forme la somme triple

étendue à tous les points {xi^yk^ Zt) situés à l'intérieur du volume. On démontrera, comme dans le cas de deux dimensions ( Chap. IV), que cette somme a une limite toujours la même, quelle que soit la loi suivant laquelle les parallélépipèdes tendent vers zéro. Rien n'est à changer au mode de raisonnem.ent. Nous aurons certains parallélépipèdes irrégiiliers, c'est-à-dire sortant partiellement du volume V, comme nous avions précédemment des rectangles irréguliers. La somme des volumes de ces parallélépipèdes irrëguliers tend vers zéro; pour le voir, on pourrait étendre au cas actuel la première démonstration employée (Chap. IV, §6),

l44 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

mais la discussion serait minutieuse. La seconde, au contraire, s'étendra d'elle-même; nous supposerons la surface S comprise dans le volume limité par deux surfaces pol^/édrales variables, l'une extérieure, l'autre intérieure à S, ces surfaces étant telles que le volume compris puisse toujours être rendu moindre qu'une quantité £ donnée à l'avance. Dans ces conditions, les parallélépipèdes irréguliers, à partir d'un certain moment, sont tous compris entre ces deux surfaces polyédrales et, par suite, la somme des volumes de ces parallélépipèdes tend vers zéro. La limite obtenue se représentera par

(i) j j jf{^.y,^)dxdy dz,

et l'on dira que cette intégrale triple est étendue au volume V.

Quand on passe à un nombre n de dimensions, l'image géométrique fait défaut, mais l'extension n'en est pas moins possible. Dans une multiplicité à n dimensions, nous considérons l'ensemble continu des valeurs des n grandeurs X|, x%^ ..., Xny satisfaisant à une ou plusieurs inégalités de la forme

et nous supposons que les valeurs des jr, satisfaisant à ces inégalités, restent inférieures, en valeur absolue, à un nombre fixe. Telle serait, par exemple, la multiplicité définie par l'unique inégalité

Soit maintenant une succession de valeurs croissantes de x^j puis de ^2, . . • et de Xn» Nous formons la somme multiple

2^ . . . 2^f{xu X,, . . . , JTrt) Aarj Ajt, . . . A57«,

Ajti désignant l'accroissement positif de x^ quand on passe de la valeur désignée d'une manière générale par x^ à la suivante, et pareillement pour ^x^^ • • • ^ A^/,. Cette somme est étendue aux valeurs considérées de x^ , x^^ •-^t^n satisfaisant aux inégalités (2). Elle a une limite que l'on représente par

I j. . . jf{Xu ^?, . . . , a:«) ctr, dx^. ..dxn :

INTÉGRALES MULTIPLES. l45

c'est une intégrale multiple d'ordre /i, étendue au continuant défini par les inégalités (2).

S. Revenons, pour plus de simplicité, aux intégrales triples. Le calcul de l'intégrale (i) se ramènera à un calcul d'intégrales simples. Effectuant d'abord la sommation en laissant :r et^ constants, et faisant tendre seulement les dz vers zéro, nous écrirons l'intégrale sous la forme

fjd^ dyjf{x,y,z) dz.

Une parallèle à l'axe des z correspondant à un système de valeurs (.r, y) rencontrera la surface en un nombre pair de points, qui pourra être variable : supposons qu'il j ait quatre points, et soient Ziy Z.2, W3, z^ les valeurs correspondantes de z{Zi <C ^2<, ''z<. ^*) qui sont, en général, des fonctions de x et y. On aura à prendre l'intégrale

Jf{x,y,z)dz,

entre z^ et ^2? puis entre z^ et z^ ; c'est en effet pour ces valeurs de z que l'on sera à l'intérieur du volume. Posons

/ f(x,y,z)dz-^ j Ax,y,z)dz = <P{Xyy),

Il nous reste à faire la sommation double

' ^{x^y)dxdy,

fS*

étendue, dans le plan des (^, y), à l'aire limitée par le contour apparent de la surface sur ce plan.

3. Le changement des variables de sommation se fera dans une intégrale triple, en suivant les mêmes principes que pour les intégrales doubles. On suppose que les trois équations

l46 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

établissent une correspondance uniforme entre un volume V rapporté aux axes {x^y,z) et un volume U rapporté à des axes (uy r, (v). Dans ces conditions, le déterminant fonctionnel

àf du

àv

est différent de zéro pour tous les points du volume U.

Pour effectuer le changement de variable, on écrira l'intégrale sous la forme

JdzJjF{x,y, z)dx dy,

et, laissant z constant, on remplacera les variables x Çi\ y par u et s;.

Pour cela, nous calculerons le déterminant fonctionnel de x et^ par rapport à f/ et ç', en considérant iv comme une fonction de ces variables satisfaisant à la relation

OÙ z est, pour le moment, une constante. Remplaçant alors l'élément dxdy par l'élément -^dudv^ nous avons l'intégrale

àw

fff

dz du dv.

Laissant ensuite u et if constant, on remplace dz par ^dw, et nous obtenons l'intégrale

F{XyyjZ)Ddudvdw.

Nous n'avons pas tenu compte des signes; le produit dxdydz dans l'intégrale proposée étant positif, si nous considérons aussi dudv dw comme positif, il faut remplacer

dx dy dz par iD dudv dw^

LNTÉ6RALES MULTIPLES. l47

e étant zh i, suivant que D est positif ou négatif. Finalement on a

r rCF(x^y, z) dxdydz^ f f f^ (•^' ?» 'i')*^ ^" ^^ ^"'' la seconde intégrale étant étendue au volume U. A. Arrêtons-nous sur le cas où F = i . L'intégrale

(3) fff'^'^^'^^

étendue à V sera, par définition, le volume contenu dans la surface qui limite V. On peut la ramener à l'intégrale double

dans le cas où une parallèle à l'axe des z rencontre la surface limite en deux points seulement dont les cotes sont z^ et Z2{z^ < z^)»

L'intégrale (3) est Indépendante du système d'axes de coordonnées rectangulaires, auquel est rapportée la surface. Si l'on fait en effet un changement d'axes, les nouvelles coordonnées œ' ^ y' ^ z' sont des fonctions linéaires des anciennes, et le déterminant fonctionnel est égal à ±:i; on a donc, d'après la règle relative au changement de variables,

f f fdx dy dz = Ç Ç fdx'dy'dz'.

On aura souvent à remplacer les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires p, 6, if. Les formules sont

;r = p sinô cosij;, j = p sinô sin<)/, 5 = pcos6,

et, par suite,

dx dy dz — p« sin8 d^d^ d^.

Soit, par exemple, à calculer le volume V d'une sphère de rayon R; on aura

V=/ / / p«sin6t/prfeé/tj;= ^ttR».

l48 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.