II. — Cas où la fonction devient infinie ou indéterminée

5. Il a toujours été essenliellement supposé, dans tout ce qui précède, tant pour les intégrales doubles que pour les intégrales multiples, que la fonction qui figure sous le signe d'intégration restait finie et déterminée dans toute l'étendue du champ d'intégration. En prenant d'abord une intégrale double, supposons que la fonction f{oc^y) devienne infinie ou indéterminée en un point (a, b) à l'intérieur du champ d'intégration D : dans quels cas y aura-t-il lieu d'attribuer un sens à l'intégrale

f{^x,y)dxdyt

Traçons autour du point (a, 6) une petite courbe fermée y? et étendons l'intégrale précédente à la portion du domaine D extérieure à cette courbe. Si cette intégrale tend vers une limite toujours la même quand la courbe y tend vers zéro en se rapprochant indéfiniment du point (a, b) suivant une loi quelconque, on dira que l'intégrale a un sens et représente précisément cette limite. Le point (a, b) peut d'ailleurs être sur le périmètre de D : on considérera un arc y autour de ce point et à l'intérieur de ce domaine.

Soit, par^exemple, à calculer l'intégrale double

dxày

dxdy (a>o, a'>o),

V(a:,^) étant une fonction que je supposerai d'abord continue dans le rectangle d'intégration et sur son périmètre. L'intégrale se calcule immédiatement et l'on obtient

Supposons maintenant que V(x,y) soit infinie ou indéterminée pour :r = o, ^ = o. Nous détacherons du rectangle (a, al) un petit rectangle dont les côtés, suivant les axes, soient respectivement e et e'.

L'intégrale

dxdy,

Ox dy

INTÉGRALES MULTIPLES. l49

étendue au rectangle primitif diminué de ce petit rectangle sera, comme le donne un calcul immédiat,

Or, quand e et e' tendent vers zéro, l'expression

peut être infinie, ou avoir une limite variable avec la limite du rapport -•

C'est ce que va nous montrer un exemple très simple. Soit

Y V = arc tang- ;

nous aurons l'intégrale double

Sa valeur, pour le domaine comprenant le rectangle (a, a') diminué du rectangle (e, e') sera, en prenant les arcs tang compris

entre o et

arc tang arc tang - ,

qui dépend de la limite de -• On doit donc dire que l'intégrale (4) étendue au rectangle (a, a') n'a aucun sens.

6. Les considérations qui précèdent sont à rapprocher de la remarque faite dans le calcul des intégrales doubles, d'après laquelle on peut faire les intégrations dans un ordre arbitraire. Ce résultat suppose essentiellement que la fonction sous le signe d'intégration reste finie et bien déterminée. Prenons, par exemple, sans précaution, l'intégrale

On peut la calculer en sommant d'abord par rapport ky, puis

l5o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

par rapport kx. Ceci revient, dans notre calcul précédent, à poser £'= a', puis à faire tendre e vers zéro. L'intégrale, ainsi calculée, sera donc égale à

a' 71 arc tang •

Au contraire, faisons d'abord la sommation par rapport à x, puis par rapport ky. Ceci revient à faire e = a et à faire tendre s' vers zéro ; ce qui nous donne

a' arc tang — -

Les deux valeurs ainsi trouvées sont inégales.

7. Pour les intégrales triples, on peut évidemment développer des considérations analogues.

Si, par exemple, la fonction devient infinie en un point, il faudra isoler ce point par un petit volume le comprenant, et étudier ensuite la limite de l'intégrale quand ce volume tend vers zéro. Soit, par exemple, l'intégrale

dx dy dz

étendue à un volume V comprenant l'origine à son intérieur. Doit-on attribuer un sens à cette intégrale? L'emploi des coordonnées polaires nous permet de répondre immédiatement : l'intégrale devient

p sin6 t/p rfO d^^

ni'

et toute difficulté a disparu; l'intégrale aura un sens.

Des circonstances un peu différentes peuvent encore se présenter; la fonction sous le signe d'intégration pourrait devenir infinie ou indéterminée, non seulement en des points isolés, mais le long de certaines lignes ou de certaines surfaces. On isolera toujours les singularités, soit par une sorte de tube entourant la ligne singulière, soit par deux surfaces infiniment rapprochées de la surface singulière.

INTÉGRALES MULTIPLES. ]5l