III. — Quelques formules relatives aux intégrales triples

8. Soient A, B, G trois fonctions de x^ y^ z continues, ainsi que leurs dérivées partielles; j'envisage l'intégrale triple, étendue à un volume V limité par la surface S,

nous nous proposons de montrer qu'on peut la remplacer par une intégrale de surface.

Prenons, en effet, le premier terme

Pour simplifier, supposons la surface seulement rencontrée en deux points par une parallèle à l'axe des x \ soient X\ et Xo {x^ < x^ les abscisses de ces points pour une valeur donnée dey et ^ : nous les appellerons le point un et le point deux. L'intégrale triple sera égale à l'intégrale double

(5) J J [A{xt, jr, z) -^ A(xi, y, z)] dy dz.

celle intégrale double étant étendue au contour apparent de la surface sur le plan des yz. Considérons, d'autre part, l'intégrale de surface

A{x,yz)dydz,