II

prise sur le côté extérieur de la surface S. Cette intégrale de surface n'est autre chose que l'intégrale (5) ; car, pour le point un^ la normale extérieui*e à la surface fait un angle obtus avec l'axe des 07, tandis qu'elle fait un angle aigu pour le point deux. Nous aurons de la même manière

fjff^d.dyd.=fjcdyd., les intégrales dans les seconds membres étant encore des intégrales

l52 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

de surface étendues au côlé extérieur de la surface S. De là résulte la formule importante et absolument générale que nous voulions obtenir

= Ç j{S.dy dz-{-Bdzdx-¥-Cdx dy).

9. La formule précédente permet de résoudre très simplement le problème suivant déjà traité : Quelle est la condition pour qiHune intégrale de surface ne dépende que du contour limitant la surface sur laquelle on intègre? Nous avons vu que cette question revient à déterminer la condition pour que l'intégrale

/ / h. dy dz -^r h dz dx -\- Q» dx dy.

prise le long de toute surface fermée, soit nulle. On a, par suite, en se reportant à la formule (6),

cette intégrale étant étendue à un volume quelconque, ce qui

exige

dk dB dC dx dy oz

Une autre application de la formule (6) s'obtient en faisant

A = 37, B=j, G = 2, ce qui donne

/ / j dx dy dz = - j 1 x dy dz -^ y dz dx -\- z dx dy.

On peut, par conséquent, exprimer le volume limité par une surface fermée sous forme d'intégrale double -étendue à cette surface, et ce résultat est à rapprocher de l'expression d'une aire plane à l'aide d'une intégrale curviligne.