La formule (6) va nous donner une relation célèbre

INTÉGRALES MULTIPLES. l53

connue sous le nom de théorème de Green, Envisageons l'intégrale

U et V étant deux fonctions continues dans un volume limité par une surface fermée S. De l'identilé

dx dx ~ âx \ dx / ox^ '

et des identités analogues obtenues en remplaçant successivement X par j^ et >3, on déduit, en posant AV = —^ -h — ^ -4- —^ >

U AV dx dy dz

La formule (6) permet de remplacer la première de ces intégrales par rintégrale de surface

IMi

cosa -f- — cosp -h -^ cosy) «ï,

en introduisant les angles a, ^, y faits par la direction de la normale extérieure à la surface avec les axes de coordonnées. Nous aurons donc

I = / / U f ^ cosa -{- -r- cos^ -{- — cos^j d<j — I j j l] ^\ dxdy dz,

La quantité entre crochets dans Tintégrale double peut être écrite sous une forme plus condensée, en introduisant la dérivée dans le sens de la normale. Nous appellerons, d'une manière générale, dérivée d'une fonction V en un point A(j?, y, 5), dans la direction A/i menée par le point A, la limite du rapport de l'accroissement de la fonction, quand on passe du point A à un poiut infiniment voisin A' sur la direction A/i, à la distance positive AA'=rf/i : on désigne cette dérivée par^« Soient a, p, y les cosinus directeurs de la demi-droite A/i; on a évidemment

-r- cosa H- -r- COS P -f- T- COSY.

dx dy ^ dz *

àWcLr^

dy.

d\ dz

'^ dx dn ' dy

dn-^

l54 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

En chaque point de la surface S, introduisons la dérivée de V par rapport à la normale extérieure au volume que limite S, la valeur de I devient

formule intéressante en elle-même, mais surtout en ce qu'elle nous donne de suite, en permutant U et V et retranchant, la relation

Si nous voulons introduire les dérivées dans la direction de la normale intérieure à la surface, il suffira de changer le signe du premier terme, et l'on aura la formule définitive, dhe formule de Green,

Cette formule est générale; elle a lieu quel que soit le nombre des surfaces qui limitent le volume. II importe seulement, dans

son application, de prendre toujours les dérivées -7-^ -j- dans le

sens de la normale intérieure au volume que Von étudie. Si, par exemple, nous considérons l'espace compris entre deux sphères concentriques, l'intégrale double qui figure dans la formule de Green se composera d'une somme de deux intégrales. Pour la sphère extérieure les dérivées devront être prises daiis le sens de la normale inlérieure à la sphère qui est en même temps la normale intérieure au volume étudié; pour la sphère intérieure, au contraire, les dérivées devront être prises dans le sens de la normale extérieure à cette sphère, qui est le sens de la normale intérieure au volume compris entre les deux sphères.