CHAPITRE VI
I. — Formule fondamentale. Énoncé du principe de Dirichlet. i . L'équation suivante
qu'an peut appeler V équation de Laplace, joue dans plusieurs théories un rôle très important, et nous aurons, dans ce Livre même, l'occasion de la rencontrer en étudiant la théorie de l'al- Iraction. Nous allons, comme application des transformations générales faites sur les intégrales multiples, étudier les principales propriétés des fonctions satisfaisant à cette équation.
Une première relation nous sera de suite fournie par l'application du théorème de Green.
Désignons par U et V deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, dans un volume limité par une ou plusieurs surfaces. La formule de Green nous
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donne immédiatement, si U et V satisfont àTéquation de Laplace,
et celte intégrale pourra être une somme d'intégrales prises comme il a été dit plus haut, si le volume envisagé est limité par plusieurs surfaces.
Avant de déduire une conséquence fondamentale de celte formule, faisons quelques remarques :
D'abord, si l'on fait dans la formule précédente U = i , on aura
(2) ff^d. = o.
dn
Ainsi, si une fonction continue Y satisfait à l'équation A V = o, l'intégrale (2), prise pour toute surface fermée, est nulle.
En second lieu, une solution particulière de l'équation de Laplace nous est donnée par
rt, t, c désignant trois constantes arbitraires ; c'est ce qui se vérifie immédiatement.
Enfin, en désignant d'une manière générale par P le point de coordonnées x,^, 5, par A le point (a, è, c), et par P/i une droite
menée par le point P, cherchons quelle sera la dérivée de - dans
cette direction. On aura
I dr
dn r* dn
Or
r» = (a? — a)*-H(7 — b)^-^{z — c)K Par suite,
dr dx . i^^ày , .dz
d'où
dr , ^
en désignant par (r, n) l'angle fait par la direction PA avec la direction P/i. On a donc
cos(r, n)
•il
dn
2. Ces remarques faites, soit V une solution quelconque de Fëquation AV = o, continue dans un volume limité par une ou plusieurs surfaces S; considérons la fonction
le point A(a, 6, c) étant à Yintérieur du volume.
La formule (i) n'est pas applicable aux deux fonctions - et V,
puisque la première n'est pas continue dans le volume que nous étudions; mais décrivons autour de A une sphère et envisageons le volume compris dans le volume initial et extérieur à cette sphère 2. Nous pourrons alors appliquer la formule (i) qui s'écrira
J J \r dn du) "^J^J \r dn dn
dj — o.
La première intégrale est étendue aux surfaces S limitant le volume, et la seconde à la sphère 2. Les dérivées qui figurent dans cette dernière sont prises dans la direction de la normale extérieure à la sphère ; si nous les supposons prises sur la normale intérieure à la sphère, nous devrons changer le signe de l'intégrale et écrire
La première intégrale ne doit pas dépendre du rajon de la sphère S; elle a une valeur très simple que nous allons calculer. Tout d'abord, r étant constant sur S, le premier terme de cette intégrale est égal à
et par suite est nul, d'après ce que nous avons dit (§ 1).
l58 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉYELOPPEIIENTS EN SÉRIES.
Le premier membre de (3) se réduit donc à
puisque, sur la sphère, cos(r, /?)= i.
Soient, d'aulre part, sur la sphère S de rayon r, M et m le maximum et le minimum de la fonction V, l'intégrale double
fp
dri
sera comprise en ire M. 4^/'^ et m.4'nr^. L'inlégrale (4) sera donc comprise entre
— ÎTlM et
■ ^-Km,
Mais le rayon r est arbitraire et peut tendre vers zéro; M et m diffèrent donc aussi peu qu'on veut de V(a, b ,c), et l'expression (4), d'ailleurs indépendante du rayon de la sphère S, a pour valeur
— 4irV(rt, à, c), ce qui nous conduit à X^^ formule fondamentale
qui fait connaître la valeur de V en un point quelconque (flr, 6, c) de l'intérieur du volume, en fonction des valeurs de V et de ^ sur la surface.
On peut donner une formule analogue pour le cas où la fonction V satisferait à l'équation de Laplace en dehors de la surface S ; mais, ici, il est nécessaire de faire une hypothèse sur la manière dont V et ses dérivées du premier ordre se comportent à l'infini. Nous supposerons que, pour (^,y, z) très grand, on ait
dx
et
àz
(^i^^J^;ïî= Rl)^
M désignant un nombre fixe.
ÉQUATION DE LAPLACB. iSq
Ceci posé, décrivons, de l'origine comme centre, une sphère 2' de rayon très grand R : le point A sera compris entre la surface S et cette sphère; nous considérons toujours la sphère S de rayon r, ayant pour centre A. Appliquons la formule de Green à l'espace limité par les surfaces S, S et S'. Faisant de suite tendre /• vers zéro, nous aurons, en raisonnant comme plus haut,
La seconde intégrale est égale à zéro. En effet, elle peut s'écrire, en employant sur la sphère S' les coordonnées polaires ô et 'i,
Or — est très voisin de l'unité, V tend vers zéro et -r- a une
valeur absolue moindre que -^ • Celte intégrale est donc moindre
en valeur absolue qu'une quantité donnée quelconque, quand le rayon R augmente indéfiniment. Or elle a une valeur indépendante de R : elle est rigoureusement nulle. Nous avons donc la formule
les dérivées étant ici prises sur la normale extérieure à la surface.
3. Appliquons la formule (5) au cas très particulier où la surface S se réduit à une sphère 2, de centre (a, 6, c) et de rayon R; elle se réduira, d'après le calcul fait plus haut, à
Nous allons en tirer avec Gauss un théorème de la plus haute importance : Sh f
Une fonction V(i^^y, z) continue dans le voisinage d'un
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point (a, b, c), ainsi que ses dérivées partielles des deux pre^ miers ordres, et satisfaisant à l'équation
AV = o
ne peut avoir au point (a, 6, c) ni maximum ni minimum.
Supposons en effet que la fonction V possède en ce point un maximum ; en prenant R assez petit, on aura, pour tout point de
la sphère S,
cette inégalité excluant Tégalité, d'où nous concluons, en mulliat par ^^ et intégrant,
^//vrf,<V(a,*,c),
inégalité absurde, puisque les deux membres sont précisément égaux.
On démontrerait de la même manière que la fonction \ (j:,y, :;) ne peut avoir de minimum.
4. Une conséquence immédiate de l'impossibilité d'un maximum ou d'un minimum est le théorème suivant :
Une peut exister deux fonctions V, satisfaisant à U équation de Laplace, continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres à Vintérieur d^une surface, et prenant sur cette surface les mêmes valeurs.
Supposons en effet qu'il existe deux telles fonctions, leur différence W satisfera à l'équation
et s'annulera sur la surface. Elle devrait donc avoir à l'intérieur soit un maximum, soit un minimum, ce qui est en contradiction avec le théorème que nous venons d'établir. W doit donc être identiquement nulle, c'est-à-dire que les deux fonctions considérées sont identiques.
On peut démontrer, de la même manière, qu'il ne peut exister deux fonctions V continues à V extérieur d'une surface fermée S,
ÉQUATION DE LAPLAGE. l6l
tendant vers zéro quand le point (^,^, z) s'éloigne à l'infini d'une manière quelconque, et prenant la même succession de valeurs sur la surface S. En efTet^ leur différence, s'annulant sur la surface et à l'infini, devrait avoir quelque part un maximum ou un minimum.
On voit le problème que suggère le théorème précédent : Si l'on se donne, sur une surface fermée S, une succession continue de valeurs associées chacune à un point de la surface, il ne peut exister qu'une seule fonction continue à Tintérieur de S, satisfaisant à l'équation de Laplace, et prenant sur la surface S les valeurs données. Cette solution existe-t-elle toujours y et comment peut-on la déterminer?
C'est là un problème célèbre, désigné souvent sous le nom de problème ou principe de Dirichlet, et dont nous allons maintenant nous occuper. La formule fondamentale (5) n'en donne pas la solution, puisque sous le signe d'intégration se trouve, non
seulement V, mais aussi la dérivée -7-; nous sommes assuré que les
valeurs de ces deux expressions sur la surface sont liées les unes aux autres, mais nous ne pouvons que concevoir cette dépendance. Il y a un cas cependant où un artifice permet d'éliminer la
dérivée -r-; nous allons approfondir d'abord ce cas.
