MA OA

MAt ~ R '

P. - I. Il

l63 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

Si (a, 6, c) et («i , é| , C| ) désignent les coordonnées de A et A| , je poserai

r\— (ar — ai)*-+- (7— à, )5-t- (z — c, )«. La formule (5) nous donne d'abord

'^^^^'^^^ = J^J jvU

r drij

D'autre part, en appliquant la formule de Green aux fonctions V et — continues toutes deux dans S, puisque le point A| est extérieur à la sphère, on a

~ ^"^ J J \ du Ti dnj

Posons OA = / et OA, rzz /, ; puis multiplions la dernière égalité par y et retranchons-la de la précédente. Il vient ainsi,

puisque - ~ 7 T s"*^ '* sphère,

dS L'artifice précédent nous a donc permis d'éliminer -7- et d'exprimer V en un point quelconque de l'intérieur de la sphère à l'aide de ses valeurs sur la surface.

Faisons explicitement le calcul de l'expression précédente. La quantité entre crochets sous le signe d'intégration peut s'écrire

— cos(r, /i)-- y — cos(r,, n).

Soient

^ = (/-, /i) = OMA, ?i=(rt, /i) = OMAt.

Or, dans les triangles OMA et OMA|,

/* — Rî-4- r* — 2Rr cosflp, /} = R«-t- r\ — aRri cosçi.

ÉQUATION DR LAPLAGB. l63

On formera de suite la combinaison

coscp R coscpi __ Rï— /»

~rî "" 7 ~r\~ - ~~R73~ '

CD se rappelant que //, r= R^ et — = ^•

La formule trouvée devient donc

qui pourra encore s'écrire, en mettant en évidence l'angle y formé par ÔÂ et ÔM,

(7) ^(''' ^' '')= x^Tr / / 3-

^ J J (R«~2/RcosY-f-/«)«

Si l'on introduit les coordonnées polaires (/, Ôq» ^o) du point A, et (R, 6, if) du point (^, y, z)^ on aura

et, si l'on veut prendre pour variables de sommation sur la sphère 8 et A, on posera

8 variant de o à tî et A de o à iiz.