Il nous faut traiter maintenant la question inverse

En supposant que la fonction V sous le signe somme soit une fonction continue V(0, i^) des angles 0 et ij^ qui fixent la position d'un point sur la sphère, les formules (6) ou (7) représentent une fonction des coordonnées a, 6, c du point A. Représentent-elles une fonction de a, 6, c satisfaisant à l'équation

et prenant la valeur V(6, A), quand le point A se rapproche du point de la sphère correspondant aux coordonnées polaires 0 et i?

Il en est bien ainsi, comme nous allons l'établir.

Tout d'abord, la fonction V(a, b\ c) définie par la formule (6)

l64 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

satisfait à Téquation de Laplace. Cela résulte immédiatement de ce que

considérée comme fonction de a, 6, c, vérifie cette équation. Le calcul ne présente aucune difficulté, si Ton ne perd pas de vue les trois relations

La dérivée seconde de l'expression précédente par rapport à a est égale à

3(Rs/2) ,5(Rî/2j(ût__^^î ^ }2a(a — .T)

et Ton a des expressions analogues pour les deux autres dérivées partielles 5 la somme de ces trois dérivées est identiquement nulle,

car

]ja démonstration du second point est plus délicate. Nous allons suivre une marche analogue à celle que suit M. Schwarz dans le cas de Péquation de Laplace avec deux variables (*).

7. Commençons par une remarque préliminaire. Si la fonction donnée V(6, ^) se réduit à une constante, l'unité, par exemple, il y aura certainement une fonction V satisfaisant à Téquation de Laplace et devenant égale à un en tous les points de la sphère : ce sera la fonction V(a, 6, c) = i. D'autre part, cette fonction doit être donnée par la formule (7 ); on en conclut que

2/RcosY-i-/«)*

quel que soit le point (a, 6, c) à l'intérieur de la sphère.

Ceci posé, soit A' le point où le rajon ÔA rencontre la sphère ;

(') Schwarz, Journal de Crelle, \. 74.

Qoo^^

ÉQUATION DE LAPLÀCE. l65

du point A' comme pôle, je décris un petit cercle correspondant à Tare trigonométrique 8. Ce petit cercle divise la sphère en deux calottes c et C dont l'une, c, comprend le point A'. Partageons rintégrale (7) en deux parties : Tune relative à la calotte c, Taulre à la calotte C, Puisque la fonction V (9, à) est continue, on pourra, étant donné à l'avance un nombre e aussi petit qu'on voudra, choisir 8 assez petit pour que la différence des valeurs de V (6, ^) correspondant à deux points q^uelconques situés sur la calotte c soit inférieure en valeur absolue à e.

Prenons maintenant sur la sphère un point fixe P, tel que l'arc PA' soit moindre que 8. J'écris l'intégrale (7), en désignant par Vp la valeur de V (6, A) au point P, sous la forme

Vp r r (R'— /«)^g 1 r /^(R«— ^^)(v-- Vp)rfg

^^^ J J (R'-a/RcosY-i-/*)» ^'^^^ J J (R«-2/RcosY-+-/«)'

le premier terme se réduira à Vp d'après la remarque faite précédemment; nous allons chercher une limite supérieure delà valeur absolue du second.

Partageons ce second terme en deux parties, le champ d'intégration étant, pour l'une, la calotte c, pour l'autre, la calotte C. Puisque sur la calotte c on a | V — Vp I <£, la première partie a une valeur absolue inférieure à l'intégrale

(R* — /2)rf(T

4^Ry J (R../R

cosy -H /*)'

étendue à c, et, à plus ^forte raison, inférieure à cette intégrale étendue à la sphère entière; elle est donc moindre que e en valeur absolue.

Passons à la seconde partie; on aura, quand M est sur la calotte C,

R«— a/R cosY -+-/*> 2/R(i — coso),

puisque cosy <; cosS. Si nous désignons par g le maximum delà valeur absolue de V (0, tl), notre seconde partie aura donc une valeur absolue moindre que

l66 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

moindre, par conséquent, que

[2/R(i — cos8)]«

Or on peut prendre / suffisamment voisin de R pour que ce terme soit aussi voisin de zéro qu'on voudra : il en résulte que, quand le point A, à l'intérieur de la sphère, tend d'une manière quelconque vers le point P, la fonction V (a, 6, c) tend vers Vp. On a, en effet, d'après ce qui précède,

|V(a,6.c)-V..l<e-*-MœZli!L; [2/R(i — cos8)]«

e étant donné à l'avance aussi petit qu'on veut et / élant très voisin de R.

Le problème de Dirichlet est donc complètement résolu pour le cas de la sphère; on peut se donner arbitrairement la fonction V sur la surface, en la supposant seulement fonction continue des paramètres 6 e^ <1. La formule (7) donne l'intégrale de l'équation de Laplace, continue à l'intérieur et prenant les valeurs indiquées sur la surface.

8. Avant de passer à un cas plus général, démontrons un théorème d'une application fréquente et qui se déduit immédiatement de la formule (G) :

Si une fonction V(x, y, z) satisfaisant à Inéquation do Laplace est continue pour toute valeur finie de x,y, et z, et si sa valeur absolue est, quelles que soient les valeurs de ces variables, inférieure à un nombre fixe M, cette fonction doit se réduire il une constante.

De l'origine comme centre, avec un rayon R, décrivons une sphère et appliquons la formule (6) pour l'origine O et le point intérieur A; nous avons, Vo et Va désignant les valeurs de V en O et A,

ÉQUATION DE LAPLAGE. 167

et, par suite,

Or supposons que le rayon R soil très grand; on a toujours,

par hypothèse, | V 1 <C M; mais - sera évidemment très voisin de

l'unité pour tous les points de la sphère, puisque le point A reste fixe. La fraction

sera donc aussi très voisine de Tuni té. Il en résulte que la différence Vq — Vj^ a une valeur absolue moindre que loute quantité donnée ; or c'est une quantité fixe : elle est donc rigoureusement nulle. On a ainsi

Va-Vo.

La fonction V en un point arbitraire A a la même valeur qu'à l'origine; elle est constante, comme nous voulions l'établir.