III. — Sur une généralisation de l'intégrale de Gauss

9. Dans un Chapitre précédent (Chap, IV, § 22), nous avons considéré l'intégrale de Gauss

(8) Jp^^d,

étendue à une surCace fermée, r désignant la distance d'un point fixe A à un point M de l'élément variable rfo- de la surface, et l'angle (r, /i), que nous désignerons maintenant par «p, représentant l'angle de la direction MA avec la normal^ intérieure à la surface au point M. Nous avons démontré que cette intégrale était égale à ^t. quand le point A était intérieur à la surface, et à zéro quand il est extérieur. Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que ia surface donnée S est une surface convexe, ayant en chaque point un plan tangent déterminé : c'est le cas pour lequel nous traiterons, dans la Section suivante, le problème général de Dirichlet;

l68 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

C0SC5 est alors toujours positif quand le point est à Tintérieur ou sur la surface.

Dans ces conditions, nous voyons de suite quelle sera la valeur de l'intégrale (8) en tout point de la surface. Elle est égale à 27:, puisqu'elle représente la somme des ouvertures, évaluées sur la sphère de rayon un^ des angles solides sous lesquels, du point A, on voit les éléments rfo* sur la surface. Cette somme correspondra donc à une demi-sphère, quand le point est sur la surface, c'est-à-dire vaudra 211. L'intégrale de Gauss, considérée comme fonction des coordonnées (a, è, c)'du point A, est donc une fonction discontinue de (a, by c) quand A traverse la surface. Elle est égale à ^tz^ quand le point est à l'intérieur, égale à 21:, quand il est sur la surface, et à zéro, quand il est à l'extérieur.

Envisageons maintenant, d'une manière plus générale, l'intégrale

OÙ [Ji désigne une fonction continue des paramètres qui fixent la position d'un point sur la surface S. Cette intégrale V, considérée comme fonction de (a, 6, c), satisfait à l'équation deLaplace; elle est une fonction continue, ainsi que ses dérivées partielles, quand le point A est à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface ; elle éprouvera une discontinuité pour le passage par la surface. Pour étudier cette discontinuité, je prends un point fixe s sur la surface S, et, désignant par [x, la valeur de a en ce point, je forme la différence

VV (a, U,c) =fp-^^P- d. - ^sfp^^ d,,

qui peut encore s'écrire

ir-

Montrons que la fonction W est une fonction continue de {a, b, c) dans l'espace avoisinant le point 5.

Décrivons, à cet effet, de s comme centre, une sphère de rayon p, qui découpe sur la surface une courbe y; on peut prendre p assez petit pour que la différence jjl — [x, soit, en valeur absolue, moindre quee, quand le point de la surface, pour lequel on prend la valeur

de |JL, est inférieur à Y- Partageons alors rinlégrale en deux parties, l'une relative à Paire intérieure à y, l'autre à l'aire extérieure. La première intégrale sera, en valeur absolue, moindre que4îîe, quelle que soit la position de A dans l'espace. Quant à la seconde intégrale, elle est une fonction continue de (<7, 6, c), pourvu que ce point, quand il est dans le voisinage de la surface, reste à une distance de s inférieure à p. On peut donc trouver un rayon p' < p tel que, à l'intérieur d'une sphère ayant s pour centre et p' pour rayon, la différence des valeurs que prend W en deux points quelconques soit moindre que s; ce qui démontre la continuité de la fonction dans le voisinage de S.

Ce point établi, nous avons à distinguer : i" la valeur de V au points, nous la désignerons par V,; 2^ la limite de V(<2, 6, c) quand A Lend vers s en étant à l'intérieur de la surface, nous l'appellerons V/,; 3** la limite de V(a, 6, c) quand A tend vers s en étant à Textérieur de la surface, nous la représenterons par Y es» Le théorème précédent nous fournit immédiatement deux relations entre V,, V/„ V^,. La fonction W étant continue, nous avons l'égalité

qui exprime que la limite des valeurs W(âr, 6, c), quand A tend vers s en étant à l'intérieur de la surface, est égale à sa valeur au point s. Pareillement, nous aurons

Ainsi, on a les deux formules très importantes

lO- Voici maintenant une remarque qui nous sera très utile dans un moment.

Partageons la surface S en deux parties a et p, et soient s et 5' deux points quelconques de la surface; nous désignerons d'une manière générale par IJ l'intégrale

relative au point 5, et étendue à une portion y de la surface S.

Montrons que

est comprise entre i et A, X désignant un nombre positif fixe inférieur à un. Supposons d'abord que s et s' aient des positions déterminées sur la surface.

En premier lieu, la somme (9) est inférieure ou au plus égale à l'unité, car

En second lieu, pour montrer que cette somme est supérieure à une certaine limite positive différente de zéro, décrivons de aet / comme centres, avec un petit ravon p, des sphères découpant sur la surface deux aires S et 2/ autour de s et s'. Dans toute la portion de l'aire a extérieure à 2, la quantité toujours positive cosf, dans l'intégrale ]J, restera supérieure à un nombre m et la diistance r sera inférieure à la longueur D.

On aura donc

h ^ — îjr >

CL désignant l'aire de la partie a, et S l'aire de la portion S. De la même manière

en désignant par m et D les minima et maxima correspondant à s' et p (nous pouvons, bien entendu, prendre les mêmes valeurs pour m et D dans l'une et l'autre inégalité). Par suite, ayant :

a -h p r-r S, on conclut :

h -t- 1^ ^> jy,

La somme (9), qui est inférieure ou au plus égale à Tunité, ne descend donc pas au-dessous d'une certaine limite.

Quand s et s' se déplacent sur la surface, cette limite inférieure a certainement un minimum; nous le désignons par X, et il est manifestement compris entre zéro et un. Il existe donc un

nombre X inférieur à un, tel que l'on ait

o<X<-l(I?-.lP)^.,.

quelles que soient les positions de s et de s' sur la sur/ace.

H. La remarque précédente va nous permettre d'approfondir l'étude de l'intégrale

''-ùff^'"-

prise pour un points de la surface S.

Désignons par M et m le maximum et le minimum de jjl, et partageons la surface en deux régions a et p, telles que, dans la première, la valeur de la fonction [jl reste comprise entre M et — — '^ »

et soit comprise, dans la seconde, entre m et — — : ces régions pourront se composer de portions séparées. On aura évidemment