Vf - l"-+-/nlP

inégalités qui pourront encore s'écrire, puisque 1?-+- 1^= 2tz,

Prenons maintenant un autre point s^ sur la surface S; on aura pareillement

1 ' 4 ir *•

Donc, en retranchant membre à membre la seconde des inégalités (i i) de la première des inégalités (lo).

17a ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

et, par suite, en introduisant la quantité X du paragraphe précédent,

ou enfin, en posant i — 5^ = p, 011 a, quelles que soient les positions des points s et s^ sur la surface,

p désignant un nombre positif fixe plus petit que r unité.

Cet important théorème est dû à M. Neumann (* ) qui en a fait la base de sa méthode de la moyenne arithmétique pour la solution du principe de Dirichlet. Nous nous sommes borné au cas où la surface convexe a, en chaque point, un plan tangent; Téminent géomètre se place dans des circonstances un peu plus générales, qu'il serait trop long d'examiner ici (^).

Voici une conséquence immédiate de l'inégalité (12) : si M| et m^ désignent le maximum et le minimum de V, sur S, on aura