Je considère maintenant une famille de surfaces
y^x^y^z) = const.,
la fonction V satisfaisant à l'équation AV= o, à l'extérieur d'un certain volume P, et s'annulant à l'infini ainsi que ses dérivées partielles comme un potentiel. On suppose, de plus, que, G variant depuis une certaine valeur y jusqu'à zéro, les surfaces
(4) V(ar,^, 4?) = G
soient des surfaces fermées, enveloppant entièrement le volume P. Prenons une de ces surfaces et étalons sur elle une couche dont la densité en chaque point soit inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine. Nous allons établir que :
U action de cette couche, pour tout point qui lui est intérieur, est nulle, et^pour les points extérieurs, les surfaces de niveau sont les surfaces de la famille considérée.
Tout d'abord, nous pouvons prendre comme expression de la
densité
I dV
expression inversement proportionnelle à dn, puisque, quand on passe d'une surface à la surface voisine, dV est constant. Soit A un point intérieur à la surface S définie par l'équation (4), la formule de Green, appliquée au volume indéfini extérieur à celle sur-
196 ÉQUATION DE LÀPLACE. — BÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES.
face, nous donne
J J \r dn ^ dnj
Or, sur la surface, V a la valeur constante C; donc
i d\ , r rpd(j
i'^JJ r dn ^ J J
Ainsi, quel que soit le point A intérieur à S, le potentiel dû à l'attraction de la couche étendue sur S est égal à la constante C. L'attraction de cette couche est donc nulle sur tout point intérieur.
Appliquons encore la formule de Green, mais en supposant le point A extérieur à S. Nous aurons
Va
^'^J J \rdn dn) ^t^J J r dn J J r
ce qui montre que le potentiel dû à l'attraction de la couche est égal, au point A, à la valeur V^ de la fonction V(^,^, z) en ce point. La famille des surfaces, dont nous sommes parti, donne donc les surfaces de niveau.
Le théorème précédent est un cas parliculier d'une proposition plus générale donnée par Green dans le Mémoire que nous avons déjà cité et retrouvée postérieurement par Chasles.
13. Des considérations géométriques ont conduit M. Bertrand à énoncer comme très vraisemblable, dans une Leçon au Collège de France, un théorème qui est, en quelque sorte, l'inverse de la question précédente. On peut établir (*) analytiquement, comme il suit, le théorème énoncé par l'éminent géomètre :
On suppose que l'on ait une famille de surfaces fermées telles que, si l'on couvre une quelconque d'entre elles d'une couche dont la densité soit en chaque point inversement proportionnelle à la
(*) E. Picard, Sur un théorème relatif à ^attraction {Comptes rendus, t. CVII; 1888). On trouvera à la suite de cet article les remarques géométriques faites par M. Bertrand.
distance à la surface infiniment voisine, l'attraction de cette couche sur tout point intérieur soit nulle. Nous allons établir que, dans ces conditions, fe^ surfaces extérieures à la couche seront pour elles des surfaces de nii^eau.
Désignons par
f{^,yy z) = \
Tune quelconque des surfaces. Si A désigne un point intérieur à S et r sa dislance à Télément variable rfo- de cette surface, la valeur de
ou de
intégrale étendue à S, ne dépend pas de la position de A; le multiplicateur de — est, en effet, dans la première intégrale j- et est
bien,' par suite, inversement proportionnel kdn. Or prenons deux surfaces S et S' (S' étant extérieur à S et correspondant à la valeur )/ du paramètre); nous pouvons dire que l'intégrale (5), étendue à la surface intérieure de S et à la surface extérieure de S', est indépendante de la position de A. Or cette intégrale, comme nous le savons, peut être remplacée par l'intégrale triple
étendue au volume compris entre S et S', laquelle est la somme de l'intégrale
et de l'intégrale
J J J \ dx dx ày dy âz dzj
dx dy dzy
qui, d'après la formule préliminaire de Green, se réduit à
et est par suite égale à ^nQJ — à) ; car, / étant constant sur les deux surfaces d'intégration, nous sommes ramené à l'intégrale de Gauss.
De là résulte que l'intégrale (6) ne dépend pas de la position de A. Or supposons maintenant V = X -+- rfX, l'élément de volume dx dy dz se réduit à
d^d\ dfsan =
car
dn
L'intégrale (6), en supprimant le facteur dk, se réduit alors à
.fh
D'autre part, l'intégrale (5) peut aussi s'écrire
Les intégrales (7) et (8) ne dépendent donc pas de la position de A à l'intérieur de S; il en résulte que (§ II) le quotient
^^^^^ âx* dy* dz*
reste constant sur chaque surface; il est donc une fonction de
La démonstration va maintenant s'achever facilement : de la relation
on déduit immédiatement qu'il existe une fonction V de jT satis-
faisant à Téquation de Laplace. Soit, en eOet, le calcul de AV donne de suite
LVquation AV = o revient donc à
\f dp
(M'&-(Mr~ -*
et la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse trouver une fonction ^ (/) vérifiant cette relation est que Ton ait l'idenlité(9).
L'équation de la famille de surfaces
peut donc se mettre sous la forme
et, par suite, nous nous trouvons ramené au théorème précédent. Toutefois une objection se présente; dans le cas actuel, nous ne savons rien sur la façon dont se comporte la fonction V (^, ^, z) à l'infini. Mais cela importe peu, si l'on a soin de modifier de la manière suivante le raisonnement fait au paragraphe précédent : Considérons deux surfaces fermées S et S',
on suppose S intérieure S'.
Soit A un point compris entre ces deux surfaces. On aura, d'après la formule classique,
pour la première intégrale, la dérivée est prise vers l'extérieur de
200 ÉQUATION DE LAPLAGE. — BÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES.
la surface; elle est prise vers l'intérieur dans la seconde. Mais V étant constant sur les surfaces d'intégration, la formule précédente se réduit à
Or la seconde intégrale, celle qui est relative à la surface S', est indépendante, par hypothèse, de la position de A. Donc V^ qui, à une constante près, se réduit à
^T^JJ r dn '
représente le potentiel au point A de Faction exercée par la
couche de densité — - — j- étalée sur S. Les surfaces ^Tz an
\ {x^y, z) = const.
extérieures à la surface S sont donc les surfaces de niveau pour cette couche. C'est ce que nous voulions établir.
14. Faisons une application au cas où la famille considérée de surfaces est une famille d'ellipsoïdes homofocaux,
X^ vt z^
aî + X 6=«-4-X c»H-X
En désignant, pour des valeurs données de x^ y, ^, la plus grande racine de cette équation par à, nous devons calculer
t/{I)Ml)Mi7-
Or, en diiférentiant successivement par rapport à ^, /, Zj on
trouve immédiatement "î~> t"' j" ^^ finalement, pour l'expression précédente,
(a«4-X)« ^(6î-hX)« ^(c«-h-X)« En particulier, pour l'ellipsoïde correspondant à X = o, la loi de
la densité (en supposant celle-ci inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine), pourra être représentée par
Je dis que pour une telle couche l'action sur un point intérieur est nulle. Pour l'établir, nous aurons recours à l'artifice suivant : Imaginons un second ellipsoïde homothétique, (Concentrique au premier et extérieur, et supposons que l'espace compris entre ces deux surfaces soit rempli d'une matière de densité constante 8. Cette masse n'exercera aucune action sur un point intérieur A. Pour le voir, il suffit de considérer un cône d'ouverture infiniment petite éŒ, ayant pour sommet le point A. On sait que deux ellipsoïdes homothétiques détachent sur une même sécante des portions égales, c'est-à-dire qu'en désignant par r^ et rj, r^ et r^ les distances respectives du point A aux points de rencontre d'une sécante, passant par ce point, avec les deux ellipsoïdes, on aura Ti — Ta = r[ — r'.^. De cette propriété résulte immédiatement que les deux masses, découpées parle cône élémentaire dans le volume attirant, exerceront sur le point A une même attraction, qui aura pour expression
0 dl. fdr = a rfZ (/«i — r,) = 8 û?! (r[ — r^ ).
Soit maintenant i -f- a le rapport de similitude des deux ellipsoïdes, a étant très petit. Appelons/? la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à l'élément rf<j du premier ellipsoïde ; le cône ayant A pour sommet et pour base rfo- découpera dans le volume attirant un volume élémentaire égal à
CSLT poL représentera la distance de deux plans tangents correspondants dans les deux ellipsoïdes homothétiques. La masse de cet élément sera donc
et la densité superficielle sur l'ellipsoïde, comme il a été expli-
que (§ 10), sera proportionnelle à/?. Or on a
Nous retombons donc sur la couche que nous avons obtenue plus haut. Pour une telle couche, dont Faction sur un point intérieur est nulle, les sur/aces de niveau à V extérieur seront, (Taprès le théorème de M. Bertrand, des ellipsoïdes homofocaux à Vellipsoïde sur lequel est étalée la couche considérée. Cette remarquable proposition avait été obtenue par Poisson en suivant une voie tout autre.
IS. Nous venons de considérer dans les paragraphes précédents le cas d'une couche attirante étalée sur une surface : c'est le cas de la simple couche. Dans la théorie mathématique du magnétisme, on est conduit à un autre tjpe d'action superficielle qui va nous ramener à une intégrale étudiée au Chapitre précédent. Sur toutes les normales à une surface S portons d\in côté déterminé une longueur constante e; nous obtenons ainsi une surface S' parallèle à S. Considérons un point quelconque M de la surface S et le point correspondant M' de S'; soient d<i un élément de S autour de M, et d<s' l'élément correspondant de S' autour de M'. Etalons sur la surface S une couche attractive, la densité en M étant représentée par p; sur S' nous étalons une couche répulsive^ la densité en M' étant égale à p', et telle que les deux éléments rfo" et rfc' aient même masse, c'est-à-dire que
p d^ — p' dv'.
Pour un point quelconque A de l'espace, le potentiel correspondant à ces deux couches sera
fl'-l'-Sl'^'-
r et H désignant les distances de A à M et M'. Nous mettons le signe moins devant la seconde intégrale, parce que la couche sur S' repousse le point A. Supposons maintenant e très petit, et
ATTRACTION ET POTENTIEL. ao3
soit p de la rorme
[JL étant une fonction de la position de M sur la surface, indépendante de e. Le potentiel écrit plus haut deviendra
Faisons tendre e vers zéro; le quotient
devient égal à la dérivée ^ de r dans le sens de la normale n, et nous avons vu que
— =-cos(r, n).
Notre potentiel devient donc
* fjL cos ( r, /i ) <T?<x /
Nous retombons ainsi sur l'intégrale, généralisation d'une intégrale de Gauss, étudiée au Chapitre précédent. L'ensemble des deux couches que nous venons de considérer est généralement désigné sous le nom de double couche, et Tinlégrale ci-dessus est le potentiel d'une double couche. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet ^ il suffira de se reporter au Chapitre précédent pour avoir les propriétés les plus importantes de ce potentiel.
IV. — Méthode de M. Robin pour la recherche d'une couche sans action sur un point intérieur.
16. Nous ferons, comme dernière application, la recherche de la couche simple étalée sur une surface convexe et sans action sur un point intérieur. D'après ce que nous avons dit plus haut (§ H), cette couche est unique si l'on fait abstraction d'un facteur constant par lequel on peut multiplier la densité en chaque point de la surface. Ce problème est du plus grand intérêt, car il revient au problème de la distribution de réleclricité. Parmi les diverses mé-
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2o4 ÉQUATION DE LAPLACE. — DËYELOPPEMBNTS EN SÉRIES.
ihodes proposées pour le résoudre, une des plus élégantes est celle de M. Robin [Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. CIV, p. i834); on suppose d'ailleurs, dans tout ce qui suit, que Vexistence de la couche a été établie, et c'est celte couche supposée existante qu'il s'agit d'obtenir. Nous allons exposer la méthode de M. Robin en démontrant d'abord une formule préliminaire, obtenue par cet auteur dans sa remarquable Thèse sur le problème de la distribution de l'électricité (*).
Nous considérons donc une couche étalée sur une surface fermée convexe et n'exerçant aucune action sur un point intérieur. En un point fixe m sur la surface, je mène la normale n et je prends sur cette droite, à V intérieur de la surface, un point m^ infiniment voisin de m. L'action exercée par la couche sur le point mi est nulle. Évaluons la composante suivant mm^ de l'action exercée par la couche sur le point m ; elle sera représentée par l'intégrale
cos ^
ir-^
dly
OÙ <p dé^gi^^ l'angle fait avec la normale mm^ par la droite joignant le point m à l'élément rfcr. (On aura soin de ne pas confondre cet angle avec celui qui a été désigné par la même lettre dans un Chapitre précédent.) L'intégrale précédente a un sens parfaitement déterminé; on s'en assure en prenant le point m pour origine et introduisant les coordonnées polaires avec lesquelles l'élément ne devient plus infini. En désignant de même par f « l'angle que fait avec mi m la droite joignant le point mt à l'élément rfc, l'intégrale
<■» ir-^'-
représentera la projection sur m^ m de l'action de la couche en m^ ; cette intégrale sera donc nulle par hypothèse. Formons la somme des intégrales (lo) et (i i); il est facile de l'évaluer. Partageons, en efiet, la surface en deux parties, dont l'une est l'aire 2 infiniment petite, découpée autour de m par une sphère de rayon infiniment petit r', ce rayon étant toutefois infiniment grand par rapport à
(•) G. Robin, Annales de l'École Normale^ 1886 (supplément).
ATTRACTION ET POTENTIEL. 2o5
la distance mnix . La somme des intégrales (lo) et (i i), relatives à la portion de la surface extérieure à Taire S, est infiniment petite ; car, le rayon r' une fois fixé, Faction exercée sur m^ par cette portion de surface varie d'une manière continue quand m< se rapproche indéfiniment de m. Il reste à évaluer la somme pour Taire S. L'intégrale (lo) a évidemment une valeur infiniment petite; l'intégrale (il) représente, à un infîniment petit près, le produit par Pot de Tangle solide sous lequel on voit du point m^ l'aire S : c'est ce qu'on voit nettement en introduisant l'angle i/ fait par la normale à l'élément d^ et la droite joignant cet élément au point /7?|. L'intégrale peut s'écrire
coscpi co%^ dfs
et, si l'on appelle p^ la valeur de p au point m, cette expression
différera très peu de
r /"cosçi cos ^ d<j
Or ££iîl est très voisin de l'unité: nous sommes donc ramené à
Nous avons cette fois l'intégrale de Gauss. Le multiplicateur de pm est l'angle solide sous lequel du point m^ on voit l'aire £; il est donc très voisin de 27î, et nous arrivons enfin à la formule
puisque, comme il a été dit, l'intégrale (i i) est nulle. C'est une équation fonctionnelle à laquelle satisfait la densité p, considérée comme /onction de point sur la surface, quand cette densité correspond à une couche sans action sur un point intérieur.
Cette équation fonctionnelle définit complètement y à un facteur constant près, la densité p. Pour le voir, reprenons le raisonnement précédent, sans nous appuyer, bien entendu, sur ce que l'intégrale (ii) est nulle. De l'existence supposée de Téqualion (12), on tire précisément la conclusion que l'intégrale (1 1) est nulle ou, pour parler plus rigoureusement, qu'elle est infiniment petite si le point m^ est infiniment voisin de la surface. Ceci
ao6 ÉQUATION DE LÀPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
suffit à établir que p représente la densité d'une couche sans action sur un point intérieur. En effet, considérons la surface S', parallèle à la surface convexe donnée S, obtenue en portant sur la normale intérieure une longueur constante infiniment petite. En
chaque point de S', la dérivée t— du potentiel dû à la couche
étalée sur S, est infiniment petite; or on a, d'après la formule préliminaire de (ireen, où Ton fait U = V,
l'intégrale triple étant étendue au volume limité par S' et l'intégrale
double étant étendue à cette surface. Or -r— est infiniment petit;
il en sera, par suite, de même des dérivées partielles t--> t-> t"
en tous les points de Tintérieur. Ces expressions, indépendantes de la surface S\ étant aussi petites que l'on veut, sont rigoureusement nulles, et, par suite, Y est constant à l'intérieur. La couche de densité p étendue sur S est donc sans action sur un point intérieur; c'est ce que nous voulions démontrer.
Faisons encore la remarque importante que la densité p d'une couche sans action sur un point intérieur ne peut s^annuler en aucun point de la surface convexe S. C'est ce que montre l'équation fonctionnelle de M. Robin. En effet, cosy étant toujours positif, les éléments de l'intégrale (12) sont tous positifs et l'on ne peut avoir, par suite, pm= o. U y aura certainement un certain nombre positif, au-dessous duquel ne descendra pas la densité p.
17. Nous sommes maintenant en mesure de résoudre le problème proposé. Donnons-nous une fonction quelconque /, bien déterminée, finie et continue en tout point de S; pour fixer les idées, nous supposerons cette fonction positive en tous les points de la surface. Je forme la suite d'intégrales
