JJ

^Jï

La première équation donne une fonction f^ du point arbitraire m sur la surface; avec cette fonction, on forme la seconde intégrale, et ainsi de suite. L^angle f a la même signification qu'au paragraphe précédent, c'est Tangle formé par la droite r (qui va de m à l'élément rfc) avec la normale intérieure en m. On va démontrer que fn tend vers la densité p d'une couche sans ctction sur un point intérieur.

On peut écrire

Soient A le maximum, B le minimum du rapport —• En suivant

la même idée que nous avons rencontrée dans la méthode de M. C. Neumann, partageons la surface S en deux parties : l'une, a,

pour laquelle cette valeur de ^ est supérieure à — — ; l'autre, p, pour laquelle cette valeur sera inférieure ou égale à — ^ — • On aura

ce qui peut encore s'écrire

Or nous avons vu que / / - — ^ dv = 2 7tp.

s Posons

On aura donc

p 1 'IT.^j

0 ~ 2 2ry

208 ÉQUATION DE LAPLAGE. — DÉVELOPPKMENTS EN SÉRIES.

Nous avons deux limites entre lesquelles est comprise — pour

un point m de la surface. Pour un autre point m', nous aurions des inégalités analogues

p '2 2 TUp

/L>R^iizI 3

les accents indiquant que les fonctions et les intégrales 0 sont prises pour le point m'.

Nous tirons des inégalités qui précèdent

P p '2 \27rp airp /

p p 2 \27rp 27rp /

Or il est évident que

4irp 4^p ^

car chacun des termes est moindre que ^; de plus, cette somme restera supérieure à un nombre positif plus petit que Tunité. Il en est de même de

Qg ^p ^

Nous en concluons, enfin,

|^-^j<jx(A-B) (o<fx<i).

Si donc on désigne par À| et Bf le maximum et le minimum de

"^—f on aura

Ai-B,<ii(A-B),

et, en général, A,,, Bu désignant le maximum et le minimum de— >

on a

An— B„<jx«(A-B).

Si donc//! tend vers une limite pour chaque point m de la sur-

face, il est manifeste que le quotient

tend vers une constante, puisque la différence entre son maximum et son minimum tend vers zéro quand n augmente infiniment.

Or l'inégalité précédente elle-même montre que fn tend vers une limite; on peut, en effet, écrire

en mettant explicitement en évidence, sous le signe d'intégration, au moyen des accents, que les fonctions se rapportent à l'élément rfo". Par suite,

puisque

mais

/«^/2zl|<jx'»-»(A-B);

nous avons donc

|/«-/«-i|<fx«-^p(A-B)<jx«-ipo(A-B),

en désignant par po le maximum de p.

Si l'on écrit alors

on voit que la limite de/,i existe bien et peut être regardée comme la somme d'une série dont les termes décroissent à la façon d'une progression géométrique décroissante.

Il est donc démontré que

lim/rt = Cp (pour«=:oo),

G étant une constante. Cette constante C ne peut d'ailleurs être nulle, quelle que soit la fonction initiale/, puisque, en particulier, si l'on prenait /=p, on aurait C= i. La méthode précc- P. — I. 14

2rO ÉQUATION DE LAPLÀGB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

dente permet donc d'obtenir la densité de la couche sans action sur un point intérieur.

On est arrivé à étendre la méthode de M. Robin à des cas plus généraux que celui que nous venons d'examiner. Nous renverrons à ce sujet à une note de M. Stekloff {Comptes rendus, t. CXXV ; 1897) ®^ ^ "** article de M. Ernst Neumann {Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen^ ^899).