CHAPITRE VIII
I. — Des séries uniformément convergentes de fonctions continues.
1 . Les fonctions se présentant souvent en Analyse sous forme de séries, il serait extrêmement utile d^avoir des règles qui permissent d'effectuer Piatégration ou la différentiation d'une fonction ainsi représentée. Od sait malheureusement peu de chose de général sur ce sujet. Toutefois l'étude de ces questions a conduit à bien préciser la nature particulière de convergence de certaines séries dépendant d'un paramètre arbitraire. Soit
ao(a?)-H Ux(x) -h. . .-^ Un{x) -h . . .
une série dont les termes sont des fonctions continues d'une variable x\ la série est supposée convergente quand
atx<,b.
On la dira uniformément convergente dans cet intervalle quand, étant donné à l'avance un nombre e, on peut prendre n assez grand pour que le reste de h série,
correspondant au nombre n, soit inférieur en valeur absolue à e^ quelle que soit la valeur de x dans V intervalle i^a^ b). En d'autres termes, l'approximation ne doit pas dépendre de la valeur particulière de x que l'on considère.
Il est facile d'indiquer des séries convergentes dans un intervalle, mais non uniformément convergentes; soit, par exemple, la
ai 2 ÉQUATION DE LÀPLAG£. — DÉYELOPPEMEfiTS EN SÉRIES.
série
elle est convergente pour toute valeur de x^ mais elle n'est pas uniformément convergente dans un intervalle comprenant la valeur x =o. On a, en effet,
(i-i-ar*)«
et l'on ne peut pas fixer n de telle sorte que Rn{^) soit inférieur à e, ^ étant aussi voisin de zéro qu'on voudra.
2. La notion de convergence uniforme étant établie, on peut faire, sur la fonction représentée par la série, quelques remarques aussi simples qu'importantes.
Tout d'abord la fonction /(x) représentée par la série, uniformément convergente dans l'intervalle (a, 6),
f(x)= Uo(x) -h Ui{x) -h . . .-h Un(x) -{- . . . y
OÙ les termes sont des fonctions continues de x, sera ellemême une fonction continue dans cet intervalle. Écrivons
f{x) = Mo -^- Wl -+- . • ■ -T- W/t -H R«.
Nous pouvons, par hypothèse, prendre n assez grand pour que |R,/| -<£, X étant quelconque dans l'intervalle (cr, 6), et e désignant une quantité donnée à l'avance aussi petite que l'on voudra. On aura donc
quels que soient x et x\ avec
D'autre part, la fonction Wo -^- ^'i + . . . -r w„, formée d'un nombre limité de termes, est continue; par suite, on peut prendre x' suffisamment voisin de x pour que la différence
( w'o -h a i -f- . . . -h ti,^ ) — ( £<o H- "i -^ . . . -+- w« )
INTÉGRATION DES SÉRIES. — SÉRIES ENTIÈRES. Ql3
soit inférieure en valeur absolue à e, et, par conséquent,
si af est suffisamment voisin de ^; la fonction est donc continue.
3. Montrons, en second lieu, que la fonction pourra être intégrée en faisant la somme des intégrales de chaque terme de la série.
On a d'abord
' f{x)dT= I Uodsr ^. . .-h j Undx -^ j K„(x)dXy
a et p étant compris dans Tintervatle (a, b). Mais, n étant toujours^ fixé de la même manière,
e étant aussi petit que l'on veut; il en résulte que la série
Jf Uodx -h, . ,-h I llndx -h . . .
est convergente et a pour limite / f(x)dx. On pourra donc faire
l'intégration en intégrant chaque terme de la série et en faisant la somme de ces intégrales.
Relativement à la dérivation def{x), la règle n'est plus aussi simple. Supposons que les fonctions u aient des dérivées ellesmêmes continues; la série
duo dui du,i
dx dx ' ' ' dx
ne sera pas nécessairement convergente; telle est, par exemple, la
série correspondante à w„=: ^'"^ ^--\ mais, si elle est uniforme-
ment convergente dans Tintervalle («, 6), on peut affirmer quelle représente, dans cet intervalle, la dérivée de la fonction f{x).
ai4 ÉQUATION DE LAPLÀCE. — DÉYELOPPEMENTS BN SÉRIES.
Soit, en effet,
' ^ dx dx ' " dx ' ' "" on aura, diaprés le théorème qui vient d'être établi,
M* désignant la valeur de u„{x) pour x = cl-, or la série dans le second membre représente la différence des séries
et
On a, par suite,
/(^) — 1 ^{x)dx = aj-h wf-i-. . .-h u,*^-. . .,
ce qui montre bien que/(^) a pour dérivée <f{x),
La notion de la convergence uniforme s'applique aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Soit, par exemple,
une série dont les termes sont des fonctions continues des deux variables a> et y quand le point (x^y) est à l'intérieur d'un contour A. La série sera uniformément convergente dans ce contour, si Ton peut prendre n assez grand pour que le reste de la série, relatif au nombre /i, soit moindre qu'une quantité donnée à l'avance e, quel que soit le point (x^y) dans le contour A. Le théorème relatif à l'intégration s'étend de lui-même; si 1 désigne une aire contenue dans A, on aura
I j u(x,y)dxdy = j fuQ{x,y)dxdy-^.,,'^ j j Ua{x,yr)dxdy'>r,.., les intégrales doubles étant étendues à l'aire I.
INTfiGfiÀTION DBS SÉRIES. — SÉRIES ENTIÈRES. ai5
II. — Cas des fonctions discontinues; sur une fonction discontinue et intégrable étudiée par Riemann.
4. Les théorèmes démontrés dans les paragraphes précédents peuvent être généralisés, en envisageant des fonctions qui ne sont pas continues. Il existe des fonctions discontinues /(^) telles que f{x 4- A) et f(^x — K) aient, lorsque h tend vers zéro par valeurs positives, des limites différentes de f{x)* Dirichlet désigne ces limites par /(a: -|- o) et /(a: — o). Par exemple, désignons par {x) la fonction qui représente la différence entre x et l'entier le plus voisin. Cette fonction serait indéterminée pour
X = (/i entier).
Convenons alors que pour ces valeurs on ait [x) = o. La fonction {x) est continue, sauf pour les valeurs x = > et pour
une telle valeur on a
La notion de telles fonctions discontinues étant acquise, soit
/{x) = <po(a?) -f- «pi (a:) -h. . .+ <p„(jr) +. . .
une série uniformément convergente dans un certain intervalle, et supposons que
o«(a7H-o) et ^^(a: — o)
existent toujours; nous allons montrer que Von a
f{x — o) = (po(a? — o) -+- <:pi(j: — o) -^ . . .-h çp«(2r — o) -+-
En effet, on peut, par hypothèse, prendre n assez grand pour que le reste soit, quel que soit x, inférieur à e. Soit donc
f{x) = ço(a?) -+-. . .4- cpn(ar) H- R„(ar) (| Kn{x)\ < e). II en résulte de suite que la limite de f{x + h) différera de la
!)l6 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMBliTS EN SÉRIES.
limite de
(po(a?-h/i)-f-...-!-cprt(a?+ h)
de moins de 2e, ce qui démontre bien le résultat énoncé.
3. Dans le Mémoire cité au Chapitre I, Biemann donne comme exemple d'une série du type précédent la série
Elle satisfait bien aux conditions du théorème précédent, puisque
la valeur absolue de {nx) est inférieure à -• La série précédente
est uniformément convergente dans tout intervalle ; un terme quelconque [nx) de la série est discontinu pour
X = (A- entier).
•in ^ '
Cette valeur, réduite à sa plus simple expression, sera nécessairement de la forme
p et m étant des entiers premiers entre eux, et/? étant impair. Par conséquent, pour toute valeur de x qui n'est pas de cette forme, tous les termes de la série sont continus et, par suite, la fonction représentée par la série est continue. Au contraire, supposons
que X soit de la forme -^ (/? et m premiers entre eux, et/? impair),
il y aura dans la série des termes discontinus pour cette valeur de ^; ce seront les termes (nx), n étant tel que
n-^ soit de la forme •
2/n On aura donc
np ,
Donc n doit être un multiple impair de m, et cette condition est d'ailleurs suffisante. Par conséquent, d'après le théorème précé-
dent, on aura, pour x = — >
'im
/(x-o)=/(x) + ^(.+ Ji + l +...).
JVous avons donc un exemple d'une fonction /{x) discontinue une infinité de fois dans tout intervalle; les valeurs de x pour lesquelles f{x) est discontinue sont données par
P et m étant premiers entre eux, etp impair.
6. Traitons maintenant de l'intégration de certaines fonctions représentées par des séries. Soit encore une série de fonctions
uniformément convergente dans un intervalle ; on ne suppose pas les fonctions ^{x) continues, mais on les suppose intégrables. Dans ces conditions, la série f(x) est intégrable. On n'a qu'à répéter toujours le même raisonnement, en écrivant, comme au § 4,
et l'on est ramené à considérer une suite d'un nombre limité de termes. II suit de là que l'on aura
Jf f{x)dx= I OQ{x)dx -r-...-^ I ^n{x)dx'-{-
L'application à la fonction f{x) deRiemann étudiée au paragraphe précédent est immédiate. En effet, la fonction (nx) est intégrable, car dans un intervalle (a, b) elle n'a qu'un nombre limité àe points de discontinuité et, d'ailleurs, elle reste toujours inférieure à un nombre fixe.
