Étudions enfin, pour terminer, l'expression

2l8 ÉQUATION DE LAPLACB. — DÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES.

regardée comme fonction de x. Nous avons dit (Chap. I, § 13) que, la fonction /(a?) étant supposée seulement întégrable et comprise entre deux limites fixes, la fonction F(jr) était une fonction continue de x. De plus [(/oc. c/7.), pour les valeurs de x pour lesquelles /(a?) est continue, la fonction F(^) admet une dérivée qui est f{x). Soit maintenant x^ une valeur de x pour laquelle f{X(i H- o) ei/{xQ — o) existent; d'après la définition même de ces grandeurs, on peut, étant donnée une quantité £, choisir h positif et assez petit pour que l'on ait

/(a:o-l-o)— e </(x) </(aro -+- o) h- £,

X étant dans l'intervalle (x^^ Xq-}- h). Il en résulte que

[/(a7o-4- o) - e] A < F{xo -f- A) - F (xo) < [fixo^o)-h t] h.

Par suite, on a

,. r(a;o-\-h)-F(xo) .. ,

On aurait de même

F(To-/i)-F(xo) Jim 7 =/(^o — o)?

h tendant toujours vers zéro par valeurs positives. F{x) n^a donc pas de dérivée pour .r = a:©.

Ces remarques générales s'appliquent de suite à la fonction /(jr) de Riemann

étudiée ci-dessus. La fonction continue F(x) définie par F (3?)= f f{x)dx

n^ admet pas de dérivée pour les valeurs de x qui sont de la forme

X = -^ {p tl m premiers cotre eux, et/? impair);

eue admet une dérivée pour toute autre valeur de x.

INTÉGRATION DES SÉRIES. — SÉRIES ENTIÈRES. aiQ

8. Tel est l'exemple rnémorable de.Riemann, montrant qu'une fonction continue n'a pas nécessairement une dérivée. A la vérité, dans cet exemple, la fonction continue a, en général, une dérivée, mais il y a cependant dans tout inlervalle une infinité de valeurs pour lesquelles elle n'a pas de dérivée. On peut même dire qu'il est plus étrange de voir une fonction continue ayant tantôt une dérivée et tantôt n'en ayant pas (suivant la valeur de la variable), que de voir une fonction continue n'ayant jamais de dérivée. Le premier exemple d*une fonction continue n'ayant de dérivée pour aucune valeur de la variable a été donné parWeierstrass (^Monaisberichtc der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1880). L'on en trouve d'autres dans le Mémoire sur les fonctions discontinues de M. Darboux. D'ailleurs, comme nous l'avons remarqué dans le Chapitre I, la courbe de M. Hilbert qui remplit une aire fournit aussi un exemple de fonction continue sans dérivée.

III. — Des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable.

9. Étudions maintenant une classe de séries qui jouent dans la théorie des fonctions un rôle capital. La formule de Mac-Laurin conduit à considérer des séries ordonnées suivant les puissances positives et entières de la variable. Prenons, a priori, une telle série

OÙ les a désignent des constantes. Abel a donné, relativement à ces séries, deux propositions importantes. Désignons, d'une manière générale, par A la valeur absolue de a et par X la valeur absolue de x. Le premier théorème d'Abel est le suivant :

Si, pour une valeur Xq de x, on a, quel que soit n,

A«XS < M,

M étant un nombre fixe, la série sera convergente pour toute valeur de x inférieure à Xq en valeur absolue.

Je dis, en effet, que la série à termes positifs

Ao-i- AfX -+-...-+- AnX„ -+-.. .

sera convergente si X<;Xo. On le voit de suite, en remarquant que les termes de celte sërie sont moindres que ceux de la série

évidemment convergente. La série (i) est donc convergente, quand on remplace chaque terme par sa valeur absolue, si

I^KXo;

elle est donc elle-même convergente. En entendant par série absolument convergente une série dans laquelle la série des valeurs absolues des termes est convergente, nous pouvons dire que la série est absolument convergente pour toute valeur de x de module moindre que Xq.

Un cas particulier intéressant est celui où la série convergerait pour X =^ Xq] dans ce cas, A^XJ tend manifestement vers zéro quand n augmente indéfiniment, et nous pouvons appliquer le théorème précédent. Si donc la série converge pour x^=^ x^^ elle converge pour toute valeur de x telle que |^| <C | .ro |.

Soit, pour fixer les idées, x^ positif: si la série (i) converge pour x=^ Xo, elle convergera, d'après ce qui précède, pour toute valeur positive de x inférieure àxo. Nous allons montrer, d'après Abcl(*), que cette série est uniformément conK>ergente dans V intervalle ( — /, ^o)» la quantité positive / étant inférieure à Xq.