Par hypothèse, la série

(2) <7j-i- ai^o-H- ..-H «rt-a^o -^- • •

est convergente; on peut donc preadre n assez grand pour que

a^xl -h. . .-h cfrt4-y,a:J+^ soit compris entre — a et -h a, quel que soit jo, a étant une quan-

(' ) Abel, Œuvres complètes, t. I (Mémoire sur la formule du binôme).

lilé donnée à l'avance aussi petite que Ton voudra. Or, dans la

série

UQ-haiX -h, , .'-¥- UnSC'^-^ ,

la somme de /? -h i termes, à la suite du /i**"®, peut s'écrire

Appliquons le lemme d'Abel établi au § 4 (Chap. I) en supposant que les e soient les puissances successives (r)»(~) ' "

et que «o=«/i'^o' '^«=^/»+i^o^\ ••• Les sommes 5o, ^i, ... correspondantes seront toutes comprises entre — a et -f-a. La somme (3) est donc comprise entre

J-V et -.J^-Y,

et, par conséquent, entre — a et -|- a. Donc, quelque soit x dans V intervalle (o, ^o)j le reste

de la série

flo H- ûia? -+-. . .-r- aùx^ -h. . .

sera compris entre — a et -+- a. La série est, par suite, uniformément convergente dans cet intervalle. C'est le ihéorème d'Abel; l'illustre géomètre l'énonce autrement, en insistant particulièrement sur le point suivant : lorsque x tend vers Xq^ la limite des valeurs que prend la série entière est précisément la valeur de la série pour x = Xq, Avec nos locutions, ceci revient à dire que la convergence uniforme s'étend jusqu'à la valeur limite Xo elle-même; c'est ce que nous venons d'établir.

Le théorème d'Abel est d'un grand intérêt; la remarque suivante en fera bien comprendre toute la valeur. Dans une série, dont les termes sont des fonctions continues de x,

i/o -4- Mi-T-...-f- M;tH-. . .,

et qui converge pour les valeurs voisines de Xq et pour Xq ellemême, il peut arriver que la limite des valeurs de la série quand x tend vers Xq no soit pas égale à la valeur de la série

pour :r = Xq. Ainsi prenons la sërie

s\n7.T sin3r

siniF-

on démontrera, dans le Chapitre suivant, qu'elle représente lorsque x est compris entre — ir et -h ir. Lorsque x tend vers tt, il est évident que la limite des valeurs de la série est -> et cette valeur n'est pas égale à la valeur même de la série qui est zéro

pour JC^TT.

11. Indiquons quelques applications du théorème précédent. Lorsque x est compris entre — i et 4-i, la formule de Taylor donne le développement

ni(m — i) .

ni(m — i)...(m — n-f-i) ^ [.2. . .n

Lorsque x tend vers un, le premier membre tend vers 2'". La série du second membre, pour^ = i, représentera donc n"^ quand elle sera convergente; c'est ce qui résulte du théorème d'Abel. Nous avons donc à chercher dans quels cas la série

m(m — 1) m(/n — }). . Jm ~ n -^j) (4) H-rnH ^-+-...-1

est convergente.

Le rapport d'un terme au précédeni est

Si donc m H- 1 5 o, les termes ne peuvent décroître indéfiniment et la série diverge.

Soit donc m > — i . A partir d'une valeur suffisamment grande de /i, la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent sera

la valeur absolue des termes ira donc en diminuant; de plus, les

INTÉGRATION DSS SÉRIES. — SÉRIES ENTIÈRES. 2'j3

termes seront alternativement positifs ou négatifs. Nous aurons donc montré que la série est convergente si nous établissons que le terme général lend vers zéro. Prenons la série des valeurs absolues des termes, soit

Uo, \}u ..., U«, ...:

on a

U/I4-I __ ni -i-i U« -' n '

Considérons, d'autre part, la série

OÙ Vn= -^jtm • ^^^^ cette série, le rapport d'un terme au précédent est

VVm/ i\-(//h-i) m-hi (/yi-hi)(/n-f-2) i / e\-'"-»

en développant par la formule de Taylor et s'arrétant au second terme. Le reste est positif, donc

Vn-4-l ^ Ug^-t

inégalité d'où Ton conclut de suite

Laissons n fixe et faisons croître /? indéfiniment, Yn^p lend vers zéro et par suite Un^p- Donc le terme général

m(ni — i).,.(m — n-hï) , ^ .

tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. En résumé, la série (4) est convergente et représente 2"* quand m est supérieur à —I.

On établira, par des considérations analogues, que la série du binôme est convergente pour x = — i quand m est positif. La somme de la série est alors égale à zéro.

12. Abel a donné une règle intéressante concernant la multiplîcalion des séries; elle se déduit très élégamment de son théorème relatif aux séries entières.

Rappelons d'abord que Gauchy a démontré le théorème suivant :

Si l'on a deux séries absolument convergentes

la série

S — Wo -^ w

-H eu-h. . .-r- U,^-i'. .

S'^~ Vq-^^v

-t- Wi<^o,)-+-

..-1-(Mo^/î-{- U\Vn-\

UnVo)-

sera convergente et égale au produit des deux premières. Remarquons, en passant, que ce théorème est même exact si l'on suppose seulement qu'une des deux séries soit absolument convergente; c'est ce qu'a fait voir M. Mertens (*), dont nous allons reproduire la démonstration. Soient donc deux séries convergentes

Vq-{- ^', -r-... -h^'rt -t-

On suppose de plus que la série

est convergente (en désignant par | Uu \ la valeur absolue de w,i), mais on ne fait aucune hypothèse sur la série de terme général | (>« |. Posons

et envisageons les difTérences

ôs/i = tVo + tVi-f-. ..-+- Win —(wo-l-efi-l-. . .-hW;,) (t'o-i-t^i-f-. ■ --i-t'rt),

02/1 + 1 -^ M^o ■+- ^^l -+-••• -H «'2n-t-l — ( Wo H- Ml -4- . . . -H M«^., )( To -H (^1 -h . . . -h P„ ).

11 faut montrer que l'on peut prendre n assez grand pour que ces 0 soient moindres qu'un nombre donné s, quelque petit qu'il soit.

(') Mertens, Sur la multiplication des séries {Journal de Crelle, t. 79).

Soient A et B deux nombres positifs tels que Ton ait, quel que soit m,

! Wo|-+-|Wl|H-...-^ !"m| < A, \Vo-^^l-^'"-^^m\ <B.

Si Ton prend n assez grand, on aura, quel que soit m,

I W/i+l I -+- . . .H- ; Un+m | < ^^^ > I t'/n-l H- ... -h t'rt + w I < . .. •

Or, on a Donc on a

I S,„ |< I Mo I . I f«-f.l -h. . .-+- Pi;, I -h. . .-^ I W„, I . ; Vn^l \ -+- I Un+i ' . ! Po -+- • • . -^ t'/iH-l I ^- . . . -i- I Wî „ I . U'o I

As Bs

On opère d'une manière analogue pour 32/14.1, et le ihéorèmese trouve ainsi établi.

Passons maintenant au théorème d'Abel ; celui-ci ne suppose pas que les deux séries (S) et (S') soient absolument convergenles. La série S" pourrait alors être divergente; insis^ et c'est là le théorème, si elle converge, elle représentera le produit des deux premières.

Formons en effet les deux séries

S' = t>o -h i^i X 4- . . . + c« ar« -^. . . ;

elles sont convergentes, par hypothèse, pour j;=: i, et elles sont absolument convergentes quand | j: | < i . En appliquant la règle de multiplication de Cauchy, on a

22'= U^V^-\- (UiiVx-\- UiVq)x -ir . , .-^ {U^V, -^ , , .-\- M« Pq)^" "J" • • •

On suppose que cetle dernière série converge pour x=i. Sa P. - I. i5

226 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÊVELOPPIJHENTS BN SÉRIES.

valeur S" powT a: =2 i est donc la liiiiile des valeurs qu'elle prend quand ^ lend vers un. Mais Yï! lend vers SS' : on aura donc