nx-K

Si elle converge pour une valeur de x non nulle, elle convergera nécessairement dans un intervalle

les limites étant exclues. L peut d'ailleurs être infini, comme on le

voit immédiatement sur la série de terme général

Dans tout intervalle (a, P) compris dans rinlervalle ( — L, -h L) les limites zt L élant toujours exclues, la convergence' est uniforme. Soit, en particulier, l'intervalle (o, ^), où |j?[<L; le théorème du paragraphe 3 nous permet d'écrire

Considérons maintenant la série formée avec les dérivées

(5) «i-f- 2ata?-i-...-^ wrt„j7"-»-h....

Je dis que cette série est convergente entre — L et 4-L. Soit, en effet, Xq distinct de la limite +Ly mais aussi voisin d'elle que l'on

voudra, on aura

M étant indépendant de n. La série

Ai-i- îîAjXh-.. .h- nA«X«-»-+-.. .

sera convergente si X<;^o- En effet, ses termes sont moindres

que ceux de la série évidemment convergente